………………………(12分)

15、(江苏运河中学2009年高三第一次质量检测)如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．

（1）证明；  （2）证明平面；

（1）证明：在四棱锥中，因底面，平面，

故．，平面．

而平面，．

（Ⅱ）证明：由，，可得．

是的中点，．

由（1）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面内的射影是，，．

又，综上得平面．

16、(安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△AED,△DCF分别沿折起，使两点重合于.

（1） 求证:；

（2） 求二面角的正切值.

（1）证明：∵,…………2分

∴,…………3分

∴,而

∴…………5分

（2）解：取的中点，连，,如图

∵∴∴…………7分

又由（1）知，

∴,

∴为二面角的平面角………9分

在中，,

∴,∴…………10分

又

在中，

即二面角的正切值为.…………12分

17、(安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)如图，在直三棱柱中，，，

为的中点.

（1）求证： //平面；  

（2）求证：⊥平面；

（3）设是上一点，试确定的位置，使平面⊥
平面，并说明理由.

（1）证明：如图，连结AB₁与A₁B相交于M。

则M为A₁B的中点

连结MD，则D为AC的中点

∴B₁C∥MD

又B₁C平面A₁BD

∴B₁C∥平面A₁BD …………4分

   （2）∵AB=B₁B

∴四边形ABB₁A₁为正方形

∴A₁B⊥AB₁

又∵AC₁⊥面A₁BD

∴AC₁⊥A₁B∴A₁B⊥面AB₁C₁   …………6分

∴A₁B⊥B₁C₁

又在直棱柱ABC―A₁B₁C₁中BB₁⊥B₁C₁

∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁                                           …………8分

   （3）当点E为C₁C的中点时，平面A₁BD⊥平面BDE                 …………9分

∵D、E分别为AC、C₁C的中点

∴DE∥AC₁     ∵AC₁⊥平面A₁BD

∴DE⊥平面A₁BD

又DE平面BDE

∴平面A₁BD⊥平面BDE   …………12分

18、(北京市东城区2009届高三部分学校月考)如图，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是AB与PD的中点.

（1）求证：PC⊥BD；

（2）求证：AF//平面PEC；

（3）求二面角P―EC―D的大小.

证明：（1）连结AC，则AC⊥BD。

∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，

∴由三垂线定理得PC⊥BD。………………4分

   （2）取PC的中点K，连结FK、EK，则四边形AEKF是平行四边形。

∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，∴AF//平面PEC。…………4分

   （3）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H，

连结PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。

∴∠PHA为所求二面角P―EC―D的平面角。………………10分

∵E为AB的中点，AE//CD，∴AM=AD=2，

在△AME中，∠MAE=120°，

由余弦定理得

………………14分

19、(广东省广州市2008-2009学年高三第一学期中段学业质量监测)如图6，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCD,如图7.

（Ⅰ）求证：AP//平面EFG；

 (Ⅱ) 求二面角的大小;

（Ⅲ）求三棱椎的体积.

解:(Ⅰ) 证明:方法一)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//, //    

四边形EFOG是平行四边形, 平面EFOG. ……3分

又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA//EO……4分

平面EFOG,PA平面EFOG, ……5分

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分

方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//

又//AB,//

平面EFG//平面PAB, ……4分

又PA平面PAB,平面EFG. ……6分

方法三)如图以D为原点,以

为方向向量建立空间直角坐标系.

则有关点及向量的坐标为:

……2分

设平面EFG的法向量为

取.……4分

∵,……5分

又平面EFG.

 AP//平面EFG. ……6分

(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形

,又∵面ABCD

又

平面PCD,向量是平面PCD的一个法向量, =……8分

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为……9分

……10分

结合图知二面角的平面角为……11分

(Ⅲ) ……14分

20、(四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测)如图①，在等腰梯形CDEF中，已知CD∥EF，CD＝2，EF＝6，AD、BC均为梯形的高，且AD＝BC＝.现沿AD、BC将△ADE和△BCF折起，使点E、F重合为一点P，如图②所示.又点N为线段AB的中点，点M在线段AD上，且MN⊥PC.

(1)求线段AM的长；

(2)求二面角P－MC－N的大小.

解：(1)由题意，AD⊥平面PAB，取CD的中点E，连接NE
∵四边形ABCD是矩形，点N是AB的中点
∴AD∥EN，EN⊥平面PAB
由题意得PA＝AB＝BP＝2
∴PN⊥AB   ……2'
如图所示，建立空间直角坐标系N－xyz
则A(0，－1，0)，P(，0，0)，C(0，1，)
设M(0，－1，z)，则＝(0，1，－z)，
＝(－，1，)             ……4'
由?＝1－z＝0  Þ  z＝
∴AM＝                     ……6'
(2)设平面PMC的法向量＝(x₀，y₀，z₀)，＝(0，2，)
由?＝0且?＝0
得  Þ  取  Þ  ＝(，－1，2)  ……9'
∵平面MCN的法向量＝(1，0，0)
∴cos<，>＝＝  Þ  <，>＝  ……11'
∵二面角P－MC－N为锐角，
∴二面角P－MC－N的大小为.    ……12'

21、(北京市东城区2008-2009学年度高三年级部分学校月考)如图，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是AB与PD的中点.

   （1）求证：PC⊥BD；

   （2）求证：AF//平面PEC；

   （3）求二面角P―EC―D的大小.

证明：（I）连结AC，则AC⊥BD。

∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，

∴由三垂线定理得PC⊥BD。………………4分

   （II）取PC的中点K，连结FK、EK，

    则四边形AEKF是平行四边形。

∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，

∴AF//平面PEC。………………4分

   （III）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H，

连结PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。

∴∠PHA为所求二面角P―EC―D的平面角。………………10分

∵E为AB的中点，AE//CD，

∴AM=AD=2，

在△AME中，∠MAE=120°，

由余弦定理得

………………14分

22、(四川省成都市高中数学2009级九校联考)如图，已知长方体

直线与平面所成的角为，垂直于

，为的中点.

（1）求异面直线与所成的角；

（2）求平面与平面所成的二面角；

（3）求点到平面的距离.

解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系

由已知可得，

又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得

（I）因为所以=

易知异面直线所成的角为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由

即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，

所以距离=所以点到平面的距离为。。。。4分

23、(四川省成都市高中数学2009级九校联考)如图直棱柱ABC-A₁B₁C₁中AB=,AC=3,BC=,D是A₁C的中点E是侧棱BB₁上的一动点。

(1)当E是BB₁的中点时证明：DE//平面A₁B₁C₁；

(2)求的值

(3)在棱 BB₁上是否存在点E,使二面角E-A₁C-C是直二面角？若存在求的值，不存在则说明理由。

证明：①取AC中点M连BM，DM

又

即四边形DMBE为平行四边形…………………3分

又面ABC,D面ABC

面ABC

②在中，….2分

③过B作,

如图建系 设…………………2分

设面的法向量

     ………3分

面的法向量………………….1分

  二面角是直二面角，

  ………………………………3分

24、(江苏省常州市2008-2009高三第一学期期中统一测试数学试题)如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；

（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

（1）证明:连结BD.

在长方体中，对角线.

又 E、F为棱AD、AB的中点，

 .

 .

又B₁D₁平面，平面，

  EF∥平面CB₁D₁.                       6′

（2） 在长方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

 AA₁⊥B₁D₁.

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.

又 B₁D₁平面CB₁D₁，

平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．                    13′

25、(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（Ⅰ）求证：平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

解:方法一：⑴．证明：连结OC

     ………… 1分

    ，． ……… 2分

    在中，由已知可得 … 3分

而，   …………………  4分

    即  …………………  5分

    ∴平面．   ……………………………  6分

⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为

BC的中点知，

∴　直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，…………… 8分

在中，  

是直角斜边AC上的中线，∴ ……………9分

∴，    ……………………… 10分

∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为． …………………………  11分

⑶．解：设点E到平面ACD的距离为． ，  ………………………………………………12分

    在中，,

    ,而，．

    ∴，   ∴点E到平面ACD的距离为  …14分

    方法二：⑴．同方法一．

    ⑵．解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

    ，    ……………   9分

    ∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．……   10分

    ⑶．解：设平面ACD的法向量为则

    ，

∴，令得是平面ACD的一个法向量．

    又 ∴点E到平面ACD的距离  ．…14分

26、(广东省佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)已知正方体ABCD―中，E为棱CC上的动点，

（1）求证：⊥；

（2）当E恰为棱CC的中点时，求证：平面⊥；

解析:连结AC，设，连结

（1）,

∴,

又,

∴,

．

∴⊥．-----------------------------------------------7分

（2）在等边三角形中，，而，平面, 平面, ，∴⊥平面．于是.

在正方体ABCD―中，设棱长为，

∵E为棱CC的中点，由平面几何知识，得，

满足，∴．

平面⊥平面．------------------------------------14分

27、(广东省恩城中学2009届高三上学期模拟考试)如图, 在矩形中, ,

分别为线段的中点, ⊥平面.

(1) 求证: ∥平面；

(2) 求证:平面⊥平面；

(3) 若, 求三棱锥的

体积.

证明: ⑴ 在矩形ABCD中,

∵AP＝PB, DQ＝QC,

∴APCQ.

∴AQCP为平行四边形.-------------2分

∴CP∥AQ. 

∵CP平面CEP,

AQ平面CEP,

∴AQ∥平面CEP.  ----------------4分

⑵ ∵EP⊥平面ABCD,

AQ平面ABCD,

∴AQ⊥EP.  ----------------------6分

∵AB＝2BC, P为AB中点, ∴AP＝AD. 连PQ, ADQP为正方形.

∴AQ⊥DP.-----------------------------------------8分

又EP∩DP＝P,  ∴AQ⊥平面DEP. 

∵AQ平面AEQ. ∴平面AEQ⊥平面DEP. ----------------------10分

⑶解：∵⊥平面

        ∴EP为三棱锥的高

        所以 

   ----------------------------------------------14分

28、(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.

(1) 求证：平面；

(2) 求证：平面平面；

(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

方法一：(1) 证：取的中点，连.

∵为的中点，∴且. …………1分

∵平面，平面，

∴，∴.               …………2分

又，∴.            …………3分

∴四边形为平行四边形，则.  …………4分

    ∵平面，平面，

∴平面.                       …………5分

(2) 证：∵为等边三角形，为的中点，∴  …………6分

∵平面，平面，∴.    …………7分

又，故平面.                …………8分

∵，∴平面.                    …………9分

∵平面，

∴平面平面.        　　　　　　　  …………10分

(3) 解：在平面内，过作于，连.

  ∵平面平面， ∴平面.

∴为和平面所成的角.            …………12分

设，则，

，

R t△中，.

∴直线和平面所成角的正弦值为　　　………14分

方法二：设，建立如图所示的坐标系，则

.……2分

∵为的中点，∴.        …………3分

 (1) 证：，       …………4分

∵，平面，∴平面.     …………5分

 (2) 证：∵，   …………6分

∴，∴.             …………8分

∴平面，又平面，

∴平面平面.                                    …………10分

 (3) 解：设平面的法向量为，由可得：

     ，取.          …………12分

     又，设和平面所成的角为，则

    .

∴直线和平面所成角的正弦值为.        …………14分

29、(2009年广东省广州市高三年级调研测试)如图5，已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．

点A、D分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置，

使⊥，连结、．

（1）求证：⊥；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

解：（1）∵点A、D分别是、的中点，

∴.                …… 2分

∴∠=90º.

∴.

∴ ,                                                   

∵,

∴⊥平面.                                               …… 4分

∵平面,

∴.                                                    …… 6分

（2）法1：取的中点，连结、．

∵,

∴.                                     

∵,

∴平面.

∵平面,

∴.                    …… 8分  

∵

∴平面.

∵平面,

∴.

∴∠是二面角的平面角.                              ……10分

在Rt△中, ，

在Rt△中, ，

.                                       ……12分

∴ 二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分

法2：建立如图所示的空间直角坐标系．

则（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,       ……8分

设平面的法向量为=（x，y，z），则：

，                      ……10分

令，得，

∴=（1，1，－1）.

显然，是平面的一个法向量，=（）．               ……12分

∴cos<，>=． 

∴二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分

30、(广西桂林十八中06级高三第二次月考)如图，在直三棱柱中，平面侧面

  （1）求证：

  （2）若，直线与平面所成的角为，

二面角的大小为，求的值.

解：(1)证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，……………….2分

则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面

A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC……………………………………………...4分

因为三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

则AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁,

又AB侧面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.   ……………………………………………….6分

 (2)连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的平面角，即∠ACD＝θ，∠ABA₁=………………..8分

      于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D＝,………………10分

      ∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ与∠AA₁D都是锐角，所以θ＝∠AA₁D.

      又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D＋＝∠AA₁B＋＝，故θ＋＝………12分

31、(河南省实验中学2008-2009学年高三第一次月考)如图，四棱锥P―ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．

（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；

（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；

（3）求直线AB与平面PCD的距离．

（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB

又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴BC⊥侧面PAB…（2分）

又∵BC侧面PBC，∴侧面PAB⊥侧面PBC………………… （4分）

（2）解：取AB中点E，连结PE、CE

又∵△PAB是等边三角形，∴PE⊥AB

又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD

∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角………………………………………（6分）

在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求…………………………………………（8分）

（3）解：在矩形ABCD中，AB//CD

∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB//侧面PCD

取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB

又∵PE⊥AB，∴AB⊥平面PEF

又∵AB//CD，∴CD⊥平面PEF，∴平面PCD⊥平面PEF…………………（10分）

作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD

在Rt△PEF中，EG=为所求……………………………… （12分）

32、(广东省湛江师范学院附中2009年高考模拟试题)如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD＝60°,再在的上方，分别以△与△为底面安装上相同的正棱锥P－ABD与Q－CBD，∠APB＝90°．

（Ⅰ）求证：PQ⊥BD；

（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；

（Ⅲ）求点P到平面QBD的距离.

解：（Ⅰ）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥，可知△PBD与△QBD是全等等腰三角形  …１分

取BD中点E，连结PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，从而BD⊥PQ．  ………4分

（Ⅱ）由（1）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角                     ……………………５分

作PM⊥平面，垂足为M，作QN⊥平面，垂足为N，则PM∥QN，M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形．  …………6分

可得ME=NE=，PE=QE=，PQ=MN=…7分∴cos∠PEQ＝   ………9分

（Ⅲ）由（1）知BD⊥平面PEQ．设点P到平面QBD的距离为h，则

  ∴．

∴　．　　∴　．                              …………………………14分

33、(广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考)已知四棱锥（如图）底面是边长为2的正方形.侧棱底面，、分别为