如果实数x，y，t满足|x-t|≤|y-t|，则称x比y接近t．
（Ⅰ）设a为实数，若a|a|比a更接近1，求a的取值范围；
（Ⅱ）f（x）=ln

x-1

x+1

，证明：

n

k=2

f(k)比

2-n-n2

2n(n+1)

更接近0（k∈Z）．

已知函数y=f（x）的定义域为R，当0＜L＜1时，对于任意x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|都成立，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n=1，2，…
（1）证明：

n

k=1

|ak-ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|；
（2）令Ak=

a1+a2+…ak

k

(k=1，2，3)，证明：

n

k=1

|Ak-Ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|．．

设数列{a_n}满足：a₁=1，且当n∈N^*时，a_n³+a_n²（1-a_n+1）+1=a_n+1．
（1）比较a_n与a_n+1的大小，并证明你的结论．
（2）若bn=（1-

a 2 n

a 2 n+1

）

1

an

，其中n∈N^*，证明0＜

n

k-1

bk＜2．

（2012•自贡三模）已知数列{a_n} 中a₁=2，点（a_n，a_n+1） 在函数f（x）=x²+2x的图象上，n∈N^*．数列 {b_n} 的前n项和为S_n，且满足b₁=1，当n≥2时，S_n²=b_n（S_n-

1

2

）
（1）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（2）求S_n；
（3）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）+…+（1+a_n），c_n=

2Sn

2n+1

，求

lim

n→∞

[

Tn

32n+1

•

n

k=1

ck]的值．

已知数列{a_n}，a_n=

αn-βn

α-β

(n=1，2，…)，其中α，β是方程x²-x-1=0的两个根．
（1）证明：对任意正整数n，都有a_n+2=a_n+1+a_n；
（2）若数列{a_n}中的项都是正整数，试证明：任意相邻两项的最大公约数均为1；
（3）若β＜α，b_n=

|α|-|β|

n(|α|n-|β|n)

，n=1，2，…，证明：

n

k=1

bk＜2．