（2012•荆州模拟）设二次函数f（x）=mx²+nx+t的图象过原点，g（x）=ax³+bx-3（x＞0），f（x），g（x）的导函数为f′（x），g′（x），且f′（0）=0，f′（-1）=-2，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（3）是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由．

（2012•泸州模拟）设函数f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0且a≠1)．
（I）求f(m)+f(n)-f(

m+n

1+mn

)的值；
（II）若关于x的方程loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在x∈[0，1）上有实数解，求实数t的取值范围．
（III）设函数g（x）是函数f（x）的反函数，求证：当a＞1时，

n

k=1

g(a-k)＜

lna

2(a-1)

(n∈N*)．．

（2013•南开区二模）设函数f(x)=lnx-

1

2

ax2+x．
（1）当a=2时，求f（x）的最大值；
（2）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2-x+

a

x

（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0时，方程mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．