一、填空题:

1、1、定积分的值是3

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2、2008年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一)若函数处满足关系⑴处连续⑵处的导数不存在,就称是函数的一个“折点”。下列关于“折点”的四个命题:①的折点;

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的折点;③的折点;④的折点;其中正确命题的序号是                .①④

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3、设,则函数的系数为_______________.-15

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4、设点P是曲线y=x3x+2上的任意一点,P点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是______________

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       [解析]∵y=3x2≥-,    ∴tanα≥-

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       又∵ 0≤α≤∏          ∴0≤α<

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5. 已知点在曲线上,如果该曲线在点处切线的斜率为,那么     ;函数的值域为____________.

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6. 设,      

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7. 已知函数的导函数为,且满足,则  6

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8. 为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面,某运输公司提出五种运输方案,据预测,这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0,各种方案的运煤总量Q与时间t 的函数关系如下图所示.在这五种方案中,运煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是_________.(填写所有正确的图象的编号)

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9. 已知,则的值为            .

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10. 已知函数的定义域为,部分对应值如下表,的导函数,函数的图像如图所示.若两正数满足,则的取值范围是

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-2

0

4

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1

-1

1

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A.                 B.                 C.                 D.

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11. 若,则         .2

 

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12. 设是定义在R上的奇函数,在上有,则不等式的解集为____________

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13.

 

 

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二、选择题:

1. 浙江省宁波市2007―2008学年第一学期高三期末考试

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    已知是各项系数均为整数的多项式,且满足

1,3,5

       A.4      B.5       C.6       D.7

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2. 函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为

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A.               B. 1                 C. 2               D.

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根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积:

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,故选A.

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3. 已知二次函数的导函数满足:,若对任意实数,有,则的最小值为(  ).

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A.              B.3              C             D. 2

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4. 已知函数上是增函数,则的最小值是    

   A. -3              B.-2          C.2            D.3

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5. 函数在区间[-2,3]上的最大值与最小值分别是(   )

       A.5,4  B.13,4          C.68,4        D.68,5

 

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6. 已知函数,则a+b=                   A.18     B.-18 C.8       D.-8

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7. 已知曲线处切线的倾斜角为                

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       A.                     B.-                  C.                      D.

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8. 在上,函数在同一点取得相同的最小值,那么上的最大值是(    )

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       A.               B.          

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       C.                 D.

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,则,当时,,又

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           ∴B

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9. 设函数,则实数a的取值范围是      (    )

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       A.               B.(0,1)             C.              D.

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D 解析:满足

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      ,故a的取值范围是,故选D.

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10.

上海市浦东新区2007学年度第一学期期末质量抽测2008/1

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三、解答题:

1、已知二次函数,若不等式的解集为C.

(1)求集合C;

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(2)若方程在C上有解,求实数的取值范围;

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(3)记在C上的值域为A,若的值域为B,且,求实数的取值范围.

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 [解](1)     ----------------------------------------------------------1分

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时,       ------------------------------------------------2分

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时,       -------------------------------3分

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所以集合     --------------------------------------------------------4分

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(2)  ,令

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则方程为    ----------------------------------5分

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时,上有解,

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   ---------------------------------------7分

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时,上有解,

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        ---------------------------------------------9分

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所以,当时,方程在C上有解,且有唯一解。----------------10分

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(3)             -------------------------------------------------11分

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①当时,函数单调递增,所以函数的值域

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,  ∵ , ∴,解得,即 ------13分

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②当时,任取

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10   ,∵,∴

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    ∴,函数在区间单调递减,

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:又,所以。-------------------------------------15分

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20  

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则须,∵,∴.

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于是当时,,;---------------16分

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时,,

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因此函数单调递增;在单调递减. 达到最小值。

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要使,则

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因为,所以使得无解。--------------------------------------18分

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综上所述:的取值范围是:

 

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2、设函数)的图象关于原点对称,且时,取极小值

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①求的值;

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②当时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明你的结论。

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③若,求证:

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解:①函数的图象关于原点对称

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对任意实数,有

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*

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恒成立        

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时,取极小值

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②当时,图象上不存在这样的两点使结论成立。

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假设图象上存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直,则由知两点处的切线斜率分别为

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     (*)

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[-1,1]与(*)矛盾

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  令

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时,  ,       时

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在[-1,1]上是减函数,且……10分

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     在[-1,1]上

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时,

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3、已知函数上为增函数.

   (1)求k的取值范围;

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   (2)若函数的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围.

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解:(1)由题意……………………1分

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因为上为增函数

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所以上恒成立,………………3分

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所以……………………5分

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当k=1时,恒大于0,

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上单增,符合题意.

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所以k的取值范围为k≤1.……………………6分

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(2)设

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………………8分

由(1)知k≤1,

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①当k=1时,在R上递增,显然不合题意………9分

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②当k<1时,的变化情况如下表:

x

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k

(k,1)

1

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(1,+)

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+

0

0

+

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极大

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极小

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……………………11分

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由于图象有三个不同的交点,

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即方程

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也即有三个不同的实根

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故需

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所以解得

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综上,所求k的范围为.……………………14分

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4、已知函数是定义在R上的奇函数,且时,函数取极值1.

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(1)求的值;

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(2)若,求证:

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(3)求证:曲线上不存在两个不同的点,使过两点的切线都垂直于直线

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解:(1)函数是定义在R上的奇函数,

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对于恒成立,.

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,

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时,函数取极值1. ∴,

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解得: .   ……………………………………………4分

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   (2),,

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,上是减函数,   ……………6分

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,则,

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时,.…9分

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   (3)设,

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,过两点的切线平行,

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, 则, ,

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由于过点的切线垂直于直线,12分

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,∵的方程无解.

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曲线上不存在两个不同的点,使过两点的切线都垂直于直线

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5. 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2008年高三实验班第一次摸底考试数学试题

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已知某质点的运动方程为下图是其运动轨迹的一部分,若时,恒成立,求d的取值范围.

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解:

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        由图象可知,处取得极值

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        则

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        即

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6. 已知函数,设

(Ⅰ)求F(x)的单调区间;

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(Ⅱ)若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立,求实数的最小值。

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(Ⅲ)是否存在实数,使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出的取值范围,若不存在,说名理由。

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解.(Ⅰ)    

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(Ⅱ)

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    当

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    …………………………………………4分

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(Ⅲ)若的图象与

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的图象恰有四个不同交点,

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有四个不同的根,亦即

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有四个不同的根。

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变化时的变化情况如下表:

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(-1,0)

(0,1)

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(1,)

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的符号

+

-

+

-

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的单调性

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由表格知:

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画出草图和验证可知,当时,

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 ………………4分

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7. 山东省潍坊市2007―2008学年度高三第一学期期末考试

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    定义

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   (1)令函数的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O作曲线C1的切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S,求S的值。

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   (2)当

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   (3)令函数的图象为曲线C2,若存在实数b使得曲线C2处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围。解:(1)

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,故A(0,9)…1分

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又过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),

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…………3分

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                        ………………5分

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   (2)令,…………6分

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又令

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单调递减.……………………7分

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单调递减,………………8分

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………………9分

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   (3)

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设曲线处有斜率为-8的切线,

①②③

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∴存在实数b使得     有解,…………11分

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由①得代入③得,…………12分

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有解,得

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………………14分

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8. 武汉市2008届高中毕业生二月调研测试文科数学试题

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函数

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(1)求证:函数的图象恒有公共点;

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(2)当时,若函数图象上任一点处切线斜率均小于1,求实数的取值范围;

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(3)当时,关于的不等式的解集为空集,求所有满足条件的实数的值。

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解:(1)即证的实根。

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也就是方程有非负实数根。

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  ∴方程恒有正根

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图象恒有公共点……………………………………………………(4分)

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(2)由题设知时   恒成立

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∴当时   恒成立

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上单调增

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的取值范围为……………………………………………………(8分)

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(3)由题设知  当时,恒成立

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  则  不满足条件

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  而

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①     当时,上递减,在上递增,

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于是

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②     当时,在[0,1]上递减,于是

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矛盾

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综上所述:……………………………………………………………………(14分)

(若用分离变的方法相应给分)

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9. 武汉市2008届高中毕业生二月调研测试理科数学试题

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(1)求证:当时,不等式对于恒成立 .

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(2)对于在(0,1)中的任一个常数,问是否存在使得成立?

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如果存在,求出符合条件的一个;否则说明理由。

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(1)证明:(Ⅰ)在时,要使成立。

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只需证:即需证:       ①

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,求导数

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,又,求,故

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为增函数,故,从而①式得证

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(Ⅱ)在时,要使成立。

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只需证:,即需证:         ②

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,求导数得

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时为增函数 ,故,从而

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时为减函数,则,从而②式得证

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由于①②讨论可知,原不等式时,恒成立…………(6分)

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(2)解:将变形为       ③

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要找一个X0>0,使③式成立,只需找到函数的最小值,

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满足即可,对求导数

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,则x= -lna,取X0= -lna

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在0< x < -lna时,,在x > -lna时,

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在x=-lna时,取得最小值

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下面只需证明:,在时成立即可

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又令,对关于求导数

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,从而为增函数

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,从而得证

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于是的最小值

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因此可找到一个常数,使得③式成立   ……………………(14分)

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10. 2008年电白四中高三级2月测试卷

如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,已知|AB|=3米,|AD|=2米

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       (1) 要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长应在什么范围内?

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       (2) 若|AN| (单位:米),则当AM、AN的长度是多少时,矩形花坛AMPN的面积最大?并求出最大面积.

 解:设AN的长为x米(x >2)

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       ∵,∴|AM|=

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∴SAMPN=|AN|•|AM|= ------------------------------------- 4分

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(1)由SAMPN > 32 得  > 32 ,

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       ∵x >2,∴,即(3x-8)(x-8)> 0

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       ∴       即AN长的取值范围是----------- 8分

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(2)令y=,则y′=  -------------- 10分

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∵当,y′< 0,∴函数y=上为单调递减函数,

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∴当x=3时y=取得最大值,即(平方米)

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此时|AN|=3米,|AM|=米      ---------------------- 12分

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11. 成都外国语学校高2008级二月月考数学试题

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把函数的图象按向量平移得到函数的图象。

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(1)若证明:

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(2)若不等式对于恒成立,求实数的取值范围。

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解:(1)由题设得,令上是增函数。故

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(2)原不等式等价于

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列表如下(略)

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时,

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解得

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12. 已知数列为等差数列,,且其前项和为,又正项数列满足

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⑴求数列的通项公式;

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⑵比较的大小;

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⑶求数列的最大项;

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⑷令,数列是等比数列吗?说明理由。

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解:⑴设的公差为,则

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,得,从而

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⑶由(2)猜想递减,即猜想当时,                     

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考察函数,当

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上是减函数,而

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所以,即

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于是猜想正确,因此,数列的最大项是   

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不是等比数列

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不是等比数列                                                           

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13. 已知函数的最小值恰好是方程的三个根,其中

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(1)求证:

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(2)设是函数的两个极值点.

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①若,求函数的解析式;         ②求的取值范围.

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解:(1)三个函数的最小值依次为

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,得 

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∴  

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故方程的两根是

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,即

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∴ 

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(2)①依题意是方程的根,

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故有

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且△,得

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 ;得,

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由(Ⅰ)知,故

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∴ 

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∴ 

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(或). 

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由(Ⅰ)

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∵  ,   ∴ 

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,   ∴ 

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(或

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∴  ..

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14. 2008年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一)

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已知函数,在处取得极值为2。

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(Ⅰ)求函数的解析式;

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(Ⅱ)若函数在区间(m,2m+1)上为增函数,求实数m的取值范围;

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(Ⅲ)若P(x0,y0)为图象上的任意一点,直线l的图象相切于点P,求直线l的斜率的取值范围.解:(Ⅰ)已知函数…………1分

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又函数处取得极值2,         …………2分

 

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            ……………………4分

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(Ⅱ),得,即

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所以的单调增区间为(-1,1)…………………………     6分

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因函数在(m,2m+1)上单调递增,

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则有,                     …………7分

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解得时,函数在(m,2m+1)上为增函数   ………8分

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(Ⅲ)

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直线l的斜率…………9分

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 即  令,…………10分

 

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   即直线l的斜率k的取值范围是      ………………12分

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15. 若函数

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   (1)求函数的单调区间

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   (2)若对所有的成立,求实数a的取值范围.

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解:(1)的定义域为                                       …………12分

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                                      …………2分

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       ①当…………3分

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       ②

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                              …………4分

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                                                        …………5分

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       综上:

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       单调递减区间为

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       的单调递增区间(0,+)         …………6分

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   (2)           …………7分

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                                               …………8分

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       则                                                  …………9分

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                                                                        …………10分

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                                                    …………11分

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                                                                         …………12分

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       另解:              

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       …………7分

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                          …………8分

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       单增                     …………9分

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       ①当

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                                                                         …………11分

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       ②当

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       不成立                                                            …………12分

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       综上所述

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16. 山东省潍坊市2008年高三教学质量检测

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2008年奥运会在中国召开,某商场预计2008年从1日起x个月,顾客对某种奥运商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是

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该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是

   (I)写出今年x的需求量f(x)件与月份x的函数关系式;

   (II)该商品每件的售价为185元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元?

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解:(I)当 ;                                                  …………1分

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                                                                                                         …………4分

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验证

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                                     …………5分

   (II)该商场预计销售该商品的月利润为

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(舍去)……9分

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综上5月份的月利润最大是3125元。      …………12分

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17. 江苏省滨海县08届高三第三次联考数学试卷2008-1-4

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    已知函数

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(1)若上单调递增,求的取值范围;

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    (2)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立,则称函数为区间D上的“凹函数”.试证当时,为“凹函数”

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解: (1)由,得

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      若函数为上单调增函数,则上恒成立

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     即不等式上恒成立. 也即上恒成立

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,上述问题等价于,而为在上的减函数,则,于是为所求

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       (2)证明:由

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        而  ①

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        又,  ∴  ②

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   ∴

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  ∴  ③

由①、②、③得

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,从而由凹函数的定义可知函数为凹函数

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18. 如右图(1)示,定义在D上的函数,如果满足:对常数A,都有≥A成立,则称函数在D上有下界,其中A称为函数的下界. (提示:图(1)、(2)中的常数A、B可以是正数,也可以是负数或零)

                                               (1)

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(1)试判断函数在(0,+)上是否有下界?并说明理由;

(2)又如具有右图(2)特征的函数称为在D上有上界。请你类

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比函数有下界的定义,给出函数在D上有上界的定义,并判断(1)   

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中的函数在(-, 0)上是否有上界?并说明理由;                   

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(3)若函数在D上既有上界又有下界,则称函数在D上       (2)

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有界,函数叫做有界函数.试探究函数是常数)是否是是常数)上的有界函数?

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解法1:∵,由

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       ∵,      ∴,-----------------2分

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∵当时,,∴函数在(0,2)上是减函数;

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时,,∴函数在(2,+)上是增函数;

试题详情

是函数的在区间(0,+)上的最小值点,

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∴对,都有,------------------------------------4分

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即在区间(0,+)上存在常数A=32,使得对都有成立,

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∴函数在(0,+)上有下界. ---------------------5分   

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[解法2:

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当且仅当时“=”成立

试题详情

∴对,都有

试题详情

即在区间(0,+)上存在常数A=32,使得对都有成立,

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∴函数在(0,+)上有下界.]

(2)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义:

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定义在D上的函数,如果满足:对常数B,都有≤B成立,则称函数在D上有上界,其中B称为函数的上界. -----7分

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,由(1)知,对,都有

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,∵函数为奇函数,∴

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,∴

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即存在常数B=-32,对,都有,

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∴函数在(-, 0)上有上界. ---------9分

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(3)∵

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,∵

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    ∵ ,  ∴,----------10分

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∵当时,,∴函数在(0,)上是减函数;

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时,,∴函数在(,+)上是增函数;

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是函数的在区间(0,+)上的最小值点, ---------------------11分

试题详情

①当时,函数上是增函数;

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是常数,∴都是常数

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,

试题详情

∴对常数A,B,都有

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即函数上既有上界又有下界-------------------------12分

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②当  时函数上是减函数

试题详情

∴对都有

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∴函数上有界.-------------------------13分

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③当时,函数上有最小值

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,令B=中的最大者

试题详情

则对常数A,B,都有

试题详情

∴函数上有界.

试题详情

综上可知函数上的有界函数--------------14分

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19. 已知函数,仅当时取得极值且极大值比极小值

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   大4,求的值.

试题详情

解:是极值点

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试题详情

            

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仅有极值为极大值点,为极小值点 

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20. 已知函数为偶函数,它的图象过点A(0,-1),且x=1处的切线方程为2x+y-2=0。

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   (1)求函数的表达式;

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(2)若对任意x∈R,不等式都成立,求实数t的取值范围。

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解:(1)∵是偶函数,

试题详情

     即恒成立。

试题详情

     ∴,                          ……2分

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     又由图象过点,可知

试题详情

     又∵,由题意知函数在点(1,0)的切线斜率为

试题详情

     故                                           ……4分

试题详情

     ∴  ∴ ……6分

试题详情

  (2)由 恒成立 ,且恒大于0,可得恒成立,

试题详情

                                       ……8分

试题详情

       设

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 (当且仅当                               

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      ∴的最大值为  故实数t的取值范围是  ……12分

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21. 已知),直线与函数的图像都

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相切,且与函数的图像的切点的横坐标为1.

试题详情

    (Ⅰ)求直线的方程及的值;

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(Ⅱ)若(其中的导函数),求函数的最大值;

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(Ⅲ)当时,求证:

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解:(Ⅰ)依题意知:直线是函数在点处的切线,故其斜率

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试题详情

所以直线的方程为

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    又因为直线的图像相切,所以由

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不合题意,舍去);

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    (Ⅱ)因为),所以

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时,;当时,

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因此,上单调递增,在上单调递减.

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因此,当时,取得最大值

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(Ⅲ)当时,.由(Ⅱ)知:当时,,即.因此,有

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22. 某工厂有一个容量为300吨的水塔,每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水,已知该厂生活用水为每小时10吨,工业用水量W(吨)与时间t(小时,且规定早上6时t=0)的函数关系为W=100.水塔的进水量分为10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在开始供水的同时打开进水管,问进水量选择为第几级时,既能保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?

    设进水量选第x级,则t小时后水塔中水的剩余量为:

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y=100+10xt-10t-100,且0≤t≤16.

试题详情

根据题意0<y≤300,∴0<100+10xt-10t-100≤300.?

当t=0时,结论成立.

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当t>0时,由左边得x>1+10(), 令m=,由0<t≤16,m ≥

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记f(t)=1+10()=1+10m2-10m3,(m ≥

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则f¢(t)=20m ? 30 m 2 =0得m = 0或m =

试题详情

∵当≤m <时,f¢(t)>0;当m >时,f¢(t)<0,

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∴所以m =时(此时t =),f(t)最大值=1+10(2-10(3=≈2.48.

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当t=时,1+10()有最大值2.48.?

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∴x>2.48,即x≥3.

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由右边得x≤+1,当t=16时,+1有最小值

试题详情

+1=∈(3,4).即x≤3.

综合上述,进水量应选为第3级.

【总结点评】本题考查数学建模的基本思想,怎么样把实际问题转化为数学问题,进而用已有的数学知识求这个数学问题的解。水塔中的水不空又不会使水溢出等到价于进出水量的平衡,进水量与选择的进水级别与进水时间相关,出水量有生活用水与工业用水两部分构成,故水塔中水的存量是一个关于进水级别与用水时间的函数,而容量为300吨的水塔就构成一个不等式,解之得问题的解.

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23. 某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区.已知AB⊥BC,OA//BC,且AB=BC=4 AO=2km,曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB,BC上,且一个顶点落在曲线段OC上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到0.1km2).

试题详情

以O为原点,OA所在直线为轴建立直角坐标系(如图)

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依题意可设抛物线的方程为

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故曲线段OC的方程为 

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设P(是曲线段OC上的任意一点,则|PQ|=2+,|PN|=4-2

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∴工业园区面积S=|PQ|?|PN|=(2+)(4-2)=8-3-22+4

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∴S′=-32-4+4,令S′=0

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时,S′>0,S是的增函数;

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)时,S′<0,S是的减函数.

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时,S取到极大值,此时|PM|=2+=

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而当

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所以当即|PM|=矩形的面积最大为 

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答:把工业园区规划成长为宽为时,工业园区的面积最大,最大面积为9.5(km)

【解读】《考试大纲》要求利用导数求一些实际问题的最大值和最小值,而且还要求考查实践能力,因此运用导数来解决实际问题也就在高考所要求考查之列,解决这类问题的关键在于从实际问题中建立函数模型,然后利用导数来求最值.如本题根据题意建立坐标系后(这是由抛物线联想到的)建立的是三次函数模型,而引入导数以后三次函数本来就是高考的常考点,应引起足够的重视.

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24.已知函数)在处取到极值.

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(1)求的值;

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(2)求最大的正整数,使得时,

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 同时成立.

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解:(1)依题意可知,   则:,--------------------------------2分

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  则,        

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;------------------------------------------4分

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(2)由(1)知

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的两个根分别是和2,

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,令

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即函数在区间上单调增,在区间上单调减,在区间上单调增,----------------------6分

试题详情

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,得

试题详情

其有一个根为,则分解得:,得;--------8分

试题详情

,得

试题详情

其有一个根为2,则分解得:,得;--------10分

试题详情

则要使得,必须满足:;-------12分

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又∵为正整数,∴最大为4,

试题详情

另一方面,

试题详情

由于,则要使得成立,则

试题详情

,即-------14分

试题详情

,则

试题详情

则要使得成立,

试题详情

(此处也可以对最大的正整数,在区间上验证

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综上所述,最大的正整数为4.----------------------------------------17分

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25.已知:在函数的图象上,以为切点的切线的倾斜角为

试题详情

    (Ⅰ)求的值;

试题详情

    (Ⅱ)是否存在最小的正整数,使得不等式对于恒成立?如果存在,请求出最小的正整数;如果不存在,请说明理由;

试题详情

    (Ⅲ)求证:).

试题详情

解:(Ⅰ) ,依题意,得,即.  …2分

试题详情

     ∵  , ∴ .                  ……………………3分

试题详情

   (Ⅱ)令,得.      …………………………4分

试题详情

     当时,;当时,

试题详情

     当时,.     又.     因此,当时,.

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 要使得不等式对于恒成立,则.

试题详情

          所以,存在最小的正整数,使得不等式对于

试题详情

     恒成立.    

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    (Ⅲ)方法一:

试题详情

   

试题详情

    .   又∵ ,∴ .   

试题详情

  ∴ .

试题详情

     综上可得,).   ………14分

试题详情

    方法二:由(Ⅱ)知,函数在 [-1,]上是增函数;在[,]上是减函数;在[,1]上是增函数.又.

试题详情

    所以,当x∈[-1,1]时,,即.

试题详情

    ∵ ∈[-1,1],∴ .

试题详情

    ∴ .……11分

试题详情

    又∵,∴ ,且函数上是增函数.

试题详情

    ∴ .      …………………13分

试题详情

    综上可得,).……………14分

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26. 已知函数,在x=1处连续.

   (I)求a的值;

试题详情

   (II)求函数的单调减区间;

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   (III)若不等式恒成立,求c的取值范围.

试题详情

(I)解:由处连续,

试题详情

可得,故                                                          …………2分

试题详情

   (II)解:由(I)得

试题详情

试题详情

所以函数                                             …………7分

试题详情

   (III)解:设

试题详情

   

试题详情

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故c的取值范围为                                                                 …………13分

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27. 设M是由满足下列条件的函数构成的集合:“①方程有实数根;②

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函数的导数满足.”

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   (I)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;

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   (II)集合M中的元素具有下面的性质:若的定义域为D,则对于任意

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[m,n]D,都存在[m,n],使得等式成立”,

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试用这一性质证明:方程只有一个实数根;

试题详情

   (III)设是方程的实数根,求证:对于定义域中任意的.

试题详情

解:(1)因为,…………2分 

试题详情

       所以满足条件………………3分

试题详情

       又因为当时,,所以方程有实数根0.

试题详情

       所以函数是集合M中的元素.…………4分

试题详情

     (2)假设方程存在两个实数根),

试题详情

       则,………5分  不妨设,根据题意存在数

试题详情

       使得等式成立,……………………7分

试题详情

       因为,所以

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       与已知矛盾,所以方程只有一个实数根;…………9分

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       (3)不妨设,因为所以为增函数,所以

试题详情

       又因为,所以函数为减函数,………………10分

试题详情

       所以,…………11分

试题详情

       所以,即…………12分

试题详情

       所以

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28. 已知向量=(1,0),=(0,1),函数的图象在轴上的截距为1,在=2处切线的方向向量为,并且函数当时取得极值。

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(1)求的解析式;(2)求的单调递增区间;(3)求的极值。

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18.)

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29. 将一张2×6米的硬钢板按图纸的要求进行操作:沿线裁去阴影部分,把剩余的部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(⑦为底,①②③④为侧面,⑤+⑥为水箱盖,其中①与③、②与④分别是全等的矩形,且⑤+⑥=⑦),设水箱的高为x米,容积为y立方米。

   (1)写出y关于x的函数关系式;

   (2)如何设计x的大小,使得水箱的容积最大?

试题详情

 

 

 

 

 

试题详情

解:(1)依题意水箱底的宽为米,…………3分

试题详情

则水箱的容积即为y关于x的函数关系式

……………………6分

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(2)

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…………8分

试题详情

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……………………12分

试题详情

∴当取得最大值,

试题详情

∴设计,水箱的容积最大…………………………14分

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30. 设函数∈R,且)。当时,取得极大值2。

(1)用关于a的代数式分别表示b与c;

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(2)当时,求的极小值;

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(3)求的取值范围。

本小题考查导数的意义,多项式函数的导数,考查利用导数研究函数的极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。

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解:(1),由已知可得:

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     ∴ (4分)

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(2)当时,b=2,c=1

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(5分)

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(6分)

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时,为减函数

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时,为增函数(8分)

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有极小值(9分)

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(3)

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,则(11分)

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要使的极大值f,则

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(14分)

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31. 已知函数

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(Ⅰ)求的单调区间;

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(Ⅱ)当时,设斜率为的直线与曲线交于两点,求证:

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(Ⅰ)

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   当时,上是增函数;

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  当时,由,得(取正根),

试题详情

  在区间内,是增函数;在区间内,是减函数.

试题详情

综上,当时,的增区间为,没有减区间;

试题详情

   当时,的减区间是,增区间是

试题详情

(Ⅱ)当时,

试题详情

   今证明  

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   先证明  

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   设 

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   则 

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   ∵ ,∴上是减函数.

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   ∵ ,∴

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  即 

试题详情

 ∴,同理可证  .∴

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32. 若函数处取得极值.

试题详情

(I)求的关系式(用表示),并求的单调区间;

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(II)是否存在实数m,使得对任意总有

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恒成立,若存在,求出的范围;若不存在,请说明理由.

试题详情

解:(I),由条件得:.

试题详情

              .                                                                 (1分)

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              得:.

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              当时,不是极值点,.                                                (2分)

试题详情

              当时,得;当时,得.          (4分)

试题详情

              综上得:当时,的单调递增区间为

试题详情

                                                         单调递减区间为.                        (5分)

试题详情

                            当时,的单调递增区间为

试题详情

                                                         单调递减区间为.                        (6分)

试题详情

              (II)时,由(I)知上单调递减,在上单调递增.

试题详情

                      时,.

试题详情

                      又,则.

试题详情

                      时,.                                       (8分)

试题详情

        由条件有:

试题详情

.

试题详情

                      .即恒成立.

试题详情

                      令,则有:

试题详情

                      解得:.                                                     (14分)

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33. 某加工厂有一块三角形的铁板余料(如图),经测量得知:AC=3,AB=3BC=6. 工人师傅计划利用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱,设计方案为:将图中的阴影部分切去,再把它沿虚线折起. 请计算容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

【解析】设容器的高为x

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AC=3,AB=3BC=6,∴BC2=AC2+AB2A=,∠C=

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CED=,∠FEG=,∴CD=DE?tan∠CED=x.

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GE=3-xx=3-(+1)x.

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GF=GE=[3-(+1)x

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GE>0,∴0<x<.

设容器的容积为V

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V=x??[3-(+1)x2   (6分)

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V′=[3-(+1)x2x[3-(+1)x]?(+1)

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=[3-(+1)x][1-(+1)x]   (7分)

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V′=0,又0<x<,∴x==.   (10分)

试题详情

当0<x<时,V′>0,<x<时,V′<0.

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∴当x=时,Vmax=3-.   (13分)

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34. 已知向量i=(1,0),j=(0,1),函数f(x)=ax4+bx2+c(a≠0,a≠c)的图象在y轴上的截距为1,在x=2处切线的方向向量为(a-c)i-12bj,并且函数当x=1时取得极值。

   (1)求f(x)的解析式;

   (2)求f(x)的单调递增区间和极值.

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解:

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向量(a-c)i-12bj=(a-c,-12b),故在x=2处的切线的斜率为,从而

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随x变化而变化情况如下:

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(-,-1)

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

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(1,+)

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-

0

+

0

-

0

+

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极小值-1

极大值1

极小值-1

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当x=0时,f(x)的极大值为1,

当x=1或-1时,f(x)的极小值为-1,   - - - - - - - - -14分

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35. 已知函数处取到极值。

(1)求ab满足的关系式;

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(2)解关于x的不等式

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(3)当时,给定定义域为时,函数是否满足对任意的,都有,如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由。

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(1)   ∴(3分)

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(2)

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故:当a>0时,不等式的解集为

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当a<0时,不等式的解集为(8分)

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(3)    ∴

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,故可知

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故函数满足条件。(13分)

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36. 已知二次函数,直线,直线(其中为常数);.若直线12与函数的图象以及轴与函数的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.

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(Ⅰ)求的值;

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(Ⅱ)求阴影面积关于的函数的解析式;

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(Ⅲ)若问是否存在实数,使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

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解:(I)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且的最大值为16

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∴函数的解析式为

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(Ⅱ)由

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∵0≤t≤2,∴直线的图象的交点坐标为(

由定积分的几何意义知:

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……………9分

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(Ⅲ)令

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因为,要使函数与函数有且仅有2个不同的交点,则函数的图象与轴的正半轴有且只有两个不同的交点

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=1或=3时,

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∈(0,1)时,是增函数,当∈(1,3)时,是减函数,当∈(3,+∞)时,

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是增函数

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又因为当→0时,;当

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所以要使有且仅有两个不同的正根,必须且只须

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, ∴

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∴当时,函数的图象有且只有两个不同交点。

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37. 设函数

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   (1)当时,求曲线处的切线方程;

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   (2)当时,求的极大值和极小值;

试题详情

   (3)若函数在区间上是增函数,求实数a的取值范围。

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解:(1)当…………(2分)

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为所求切线方程。………………(4分)

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(2)当

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………………(6分)

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递减,在(3,+)递增

试题详情

的极大值为…………(8分)

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(3)

试题详情

①若上单调递增。

∴满足要求。…………………………(10分)

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②若

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恒成立,

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恒成立,即a>0……………………(11分)

a<0时,不合题意。

试题详情

综上所述,实数a的取值范围是[0,+……………………(12分)

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38. 已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为,f(x)的导数为,函数

(1)若函数g(x)在x=1有极值,求g(x)的解析式;

试题详情

(2)若函数g(x)在[-1,1]是增函数,且在[-1,1]上都成立,求实数m的取值范围。

试题详情

解:,∴由,即切点坐标为(a,a),(-a,-a),

∴切线方程为y-a=3(x-a),或y+a=3(x+a),

整理得3x-y-2a=0,或3x-y+2a=0。

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解得:

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试题详情

(1)在x=1处有极值,

试题详情

,即,解得b=1,

试题详情

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(2)∵函数g(x)在[-1,1]是增函数,在[-1,1]上恒大于0,

试题详情

。又在[-1,1]上恒成立,

试题详情

上恒成立,

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的取值范围是

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39. 已知,函数的图象与函数的图象相切。

试题详情

(I)设,求表达式和值域

试题详情

(II)是否存在常数,使得函数内有极值点?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由。

试题详情

 解:(1)由,依题设可知△

试题详情

  

试题详情

    

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(2)

试题详情

试题详情

     

试题详情

内有极值点,则须满足

试题详情

     

试题详情

,使得函数内有极值点。

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40. 已知函数的图象经过原点,

试题详情

取得极大值2

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(Ⅰ)求函数的解析式;

试题详情

(Ⅱ)若对任意的,求的最大值

试题详情

解:(Ⅰ)函数的图象经过原点,

试题详情

,且…………1

试题详情

取得极大值2

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…………2且…………3

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由123解得,因此………………………6分

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(Ⅱ)由于对任意的

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则只要

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,解得,或.  ………………………8分

列表如下  :

 

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3

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   -

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递增ㄊ

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极大值

递减ㄋ

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极小值

递增ㄊ

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从上表可知∴上的最小值为.

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的最大值为……………………12分

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41. 设关于x的方程有两个实根α、β,且。定义函数

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   (I)求的值;

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   (II)判断上单调性,并加以证明;

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   (III)若为正实数,①试比较的大小;

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         ②证明

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(I)解:的两个实根,

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                                                                                    …………3分

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   (II)

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                  …………4分

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                            …………5分

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上为增函数。                                                          …………7分

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   (III)①

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                                                                                                         …………9分

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由(II),可知                                    …………10分

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②同理,可得

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                           …………12分

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又由(I),知

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所以                                 …………14分

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42. 设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:

①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;

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② 对任意x∈R都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”.

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   (1)已知函数.求证:为曲线的“上夹线”.

   (2)观察下图:

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根据上图,试推测曲线的“上夹线”的方程,并给出证明.

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解 (1)由,              ………………1分

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时,

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此时,  ………………2分

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,所以是直线与曲线的一个切点;  ………………3分

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时,

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此时,          ………………4分

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,所以是直线与曲线的一个切点;   ………………5分

所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点;

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对任意x∈R,

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所以       ………………6分

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因此直线是曲线的“上夹线”.   ………………7分

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   (2)推测:的“上夹线”的方程为  …………9分

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①先检验直线与曲线相切,且至少有两个切点:

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设:

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,得:(kZ)         ………………10分

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时,

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故:过曲线上的点()的切线方程为:

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y-[]= [-()],

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化简得:.

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即直线与曲线相切且有无数个切点.………………12分

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不妨设

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②下面检验g(x)F(x)

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g(x)-F(x)=

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直线是曲线的“上夹线”.    ………………14分

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43. 解:(1)

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   …………2分

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上无极值点  …………3分

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当p>0时,令的变化情况如下表:

x

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(0,)

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+

0

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极大值

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从上表可以看出:当p>0 时,有唯一的极大值点  ………………7分

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(Ⅱ)当p>0时在处取得极大值,此极大值也是最大值,

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要使恒成立,只需,      ∴

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∴p的取值范围为[1,+∞   …………………10分

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(Ⅲ)令p=1,由(Ⅱ)知,

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   …………11分

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  …………12分

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∴结论成立   …………………14分

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44. 设函数,且,其中是自然对数的底数.

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(1)求的关系;

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(2)若在其定义域内为单调函数,求的取值范围;

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(3)设,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.

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解:(1)由题意得   …………1分

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,所以的关系为              …………3分

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(2)由(1)知

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                       …………4分

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   令,要使在其定义域内是单调函数,只需内满足:恒成立.        …………5分

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①当时,,因为,所以<0,<0,

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  ∴内是单调递减函数,即适合题意;…………6分

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②当>0时,,其图像为开口向上的抛物线,对称轴为,∴

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只需,即

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内为单调递增函数,故适合题意.   …………7分

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③当<0时,,其图像为开口向下的抛物线,对称轴为,只要,即时,恒成立,故<0适合题意.                     

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综上所述,的取值范围为.       ……………………9分

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(3)∵上是减函数,

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 ∴时,时,,即,…10分

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①当时,由(2)知上递减<2,不合题意;                                        ……………………11分

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②当0<<1时,由

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又由(2)知当时,上是增函数,

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 ∴,不合题意;                                               ……………………12分

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③当时,由(2)知上是增函数,<2,又上是减函数,

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故只需   ,而, 即  >2,      解得

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综上,的取值范围是.                  ……………………14分

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45. 若存在实常数,使得函数对其定义域上的任意实数分别满足:,则称直线的“隔离直线”.已知(其中为自然对数的底数).

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(Ⅰ)求的极值;

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(Ⅱ) 函数是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

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【解】(Ⅰ)

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.           …………………………2分

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时,.                       …………………………3分

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时,,此时函数递减; 

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时,,此时函数递增;

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∴当时,取极小值,其极小值为.       …………………………6分

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(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)可知函数的图象在处有公共点,因此若存在的隔离直线,则该直线过这个公共点.           …………………………7分

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设隔离直线的斜率为,则直线方程为,即

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.                                  …………………………8分

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,可得时恒成立.

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,                             

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,得.                           …………………………10分

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下面证明时恒成立.

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,则

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,                  …………………………11分

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时,

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时,,此时函数递增;

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时,,此时函数递减;

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∴当时,取极大值,其极大值为.   

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从而,即恒成立.………13分             

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∴函数存在唯一的隔离直线.  ………………………14分

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解法二: 由(Ⅰ)可知当时, (当且当时取等号) .……7分

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若存在的隔离直线,则存在实常数,使得

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恒成立,

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,则

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,即.                     …………………………8分

后面解题步骤同解法一.

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46. 已知函数图像上一点处的切线方程为,其中为常数.

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(1)函数是否存在单调递减区间?若存在,则求出单调递减区间(用表示);

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(2)若不是函数的极值点,求证:函数的图像关于点对称.

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解:(Ⅰ),         ……1分

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由题意,知

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                                    ……………2分

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             ………3分

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①     当时,,函数在区间上单调增加,

不存在单调减区间;                                       ………5分

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②     当时,,有

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+

-

+

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时,函数存在单调减区间,为         ……………7分

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③     当时, ,有

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+

-

+

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时,函数存在单调减区间,为           …………9分

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知:若不是函数的极值点,则

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            …………………10分

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设点是函数的图像上任意一点,则

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关于点的对称点为

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(或    

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在函数的图像上.

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由点的任意性知函数的图像关于点对称.          …………………14分

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47.

 

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