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已知点为圆上的动点,且不在轴上,轴,垂足为,线段中点的轨迹为曲线,过定点任作一条与轴不垂直的直线,它与曲线交于、两点。
(I)求曲线的方程;
(II)试证明:在轴上存在定点,使得总能被轴平分
【解析】第一问中设为曲线上的任意一点,则点在圆上,
∴,曲线的方程为
第二问中,设点的坐标为,直线的方程为, ………………3分
代入曲线的方程,可得
∵,∴
确定结论直线与曲线总有两个公共点.
然后设点,的坐标分别, ,则,
要使被轴平分,只要得到。
(1)设为曲线上的任意一点,则点在圆上,
∴,曲线的方程为. ………………2分
(2)设点的坐标为,直线的方程为, ………………3分
代入曲线的方程,可得 ,……5分
∵,∴,
∴直线与曲线总有两个公共点.(也可根据点M在椭圆的内部得到此结论)
………………6分
设点,的坐标分别, ,则,
要使被轴平分,只要, ………………9分
即,, ………………10分
也就是,,
即,即只要 ………………12分
当时,(*)对任意的s都成立,从而总能被轴平分.
所以在x轴上存在定点,使得总能被轴平分
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已知函数
(Ⅰ)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)令g(x)= f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)当x∈(0,e]时,证明:
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。第一问中利用函数f(x)在[1,2]上是减函数,的导函数恒小于等于零,然后分离参数求解得到a的取值范围。第二问中,
假设存在实数a,使有最小值3,利用,对a分类讨论,进行求解得到a的值。
第三问中,
因为,这样利用单调性证明得到不等式成立。
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)见解析
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