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已知函数 R).
(Ⅰ)若 ,求曲线 在点 处的的切线方程;
(Ⅱ)若 对任意 恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
第一问中,利用当时,.
因为切点为(), 则,
所以在点()处的曲线的切线方程为:
第二问中,由题意得,即即可。
Ⅰ)当时,.
,
因为切点为(), 则,
所以在点()处的曲线的切线方程为:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由题意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值缩小范围的均给4分)
,
因为,所以恒成立,
故在上单调递增, ……12分
要使恒成立,则,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)当时,在上恒成立,
故在上单调递增,
即. ……10分
(2)当时,令,对称轴,
则在上单调递增,又
① 当,即时,在上恒成立,
所以在单调递增,
即,不合题意,舍去
②当时,, 不合题意,舍去 14分
综上所述:
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(本题满分12分)探究函数,的最小值,并确定取得最小值时的值,列表如下:
… |
0.5 |
1 |
1.5 |
1.7 |
1.9 |
2 |
2.1 |
2.2 |
2.3 |
3 |
4 |
5 |
7 |
… |
|
… |
8.5 |
5 |
4.17 |
4.05 |
4.005 |
4 |
4.005 |
4.102 |
4.24 |
4.3 |
5 |
5.8 |
7.57 |
… |
请观察表中值随值变化的特点,完成下列问题:
(1) 当时,在区间上递减,在区间 上递增;
所以,= 时, 取到最小值为 ;
(2) 由此可推断,当时,有最 值为 ,此时= ;
(3) 证明: 函数在区间上递减;
(4) 若方程在内有两个不相等的实数根,求实数的取值范围。
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(本题满分12分)探究函数,的最小值,并确定取得最小值时的值,列表如下:
… | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … | |
… | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.102 | 4.24 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
请观察表中值随值变化的特点,完成下列问题:
(1) 当时,在区间上递减,在区间 上递增;
所以,= 时, 取到最小值为 ;
(2) 由此可推断,当时,有最 值为 ,此时= ;
(3) 证明: 函数在区间上递减;
(4) 若方程在内有两个不相等的实数根,求实数的取值范围。
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设函数.
(I)求的单调区间;
(II)当0<a<2时,求函数在区间上的最小值.
【解析】第一问定义域为真数大于零,得到..
令,则,所以或,得到结论。
第二问中, ().
.
因为0<a<2,所以,.令 可得.
对参数讨论的得到最值。
所以函数在上为减函数,在上为增函数.
(I)定义域为. ………………………1分
.
令,则,所以或. ……………………3分
因为定义域为,所以.
令,则,所以.
因为定义域为,所以. ………………………5分
所以函数的单调递增区间为,
单调递减区间为. ………………………7分
(II) ().
.
因为0<a<2,所以,.令 可得.…………9分
所以函数在上为减函数,在上为增函数.
①当,即时,
在区间上,在上为减函数,在上为增函数.
所以. ………………………10分
②当,即时,在区间上为减函数.
所以.
综上所述,当时,;
当时,
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(本题满分12分)
某桶装水经营部每天的房租,人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元。销售单价与日均销售的关系如下表所示
销售单价(元) |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
日均销售量(桶) |
480 |
440 |
400 |
360 |
320 |
280 |
240 |
设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元。
(1)写出日均销售量P与x的函数关系式,标出定义域;
(2)请根据以上数据作出分析:这个经营部怎样定价才能获得最大利润?
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