1、已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（    ）

A．                  B．  

C．             D．

2  设有直线m、n和平面、。下列四个命题中，正确的是       w.w.w.k.s.5.u.c.o.

A.若m∥,n∥,则m∥n

B.若m,n,m∥,n∥,则∥

C.若，m,则m

D.若，m，m,则m∥     

3、设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是

A    B    

C     D  

4、已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（    ）

A．                B．   

C．               D．

5、设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（    ）

A．             B．

C．             D．

6、对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得

A.          B.∥α

C.          D.

7、给定空间中的直线及平面。条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）

A.充要条件.　　　　　　　　　　　　　　　B.充分非必要条件.

C.必要非充分条件.　　　　　　　　　　　　D.既非充分又非必要条件.

8、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，

可得该几何体的表面积是（    ）

A．          B．        

C．        D．

9、将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（    ）

10、用与球必距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为

  A.                B.             C.          D.

11、设是球半径上的两点，且，分别过作垂直于的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为：(   )

Ａ.3:5:6　　           Ｂ.3:6:8　　         Ｃ.5:7:9　　          Ｄ5:8:9

12、长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的8个顶点在同一球面上，且AB=2, AD=, AA₁=1, 则顶点A、B间的球面距离是

A. 2                    B.                       C.                      D.       

13、已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（    ）

A．           B．         C．        D．

14、如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2, AA₁=1, 则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为

A.                                B.                 C.                             D.

15、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（    ）

A．                  B．                 C．              D．

16、如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（    ）

A．              B．

C．              D．

17、直线平面，经过平面外一点与都成角的直线有且只有：(   )

Ａ.１条　　Ｂ.２条　　Ｃ.３条　　Ｄ.４条

18、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（    ）

A.                             B.                C. 4                            D.

19、平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①                                               ；

充要条件②                                                

20、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是　　　　.

21、在体积为的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________．

22、等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于          ．

23、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为                  .

24、已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于______________。

25、已知点在同一个球面上,若

,则两点间的球面距离是             

26、如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC。AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于       。

27、如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．

（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积．

28、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点

（Ⅰ）证明：直线；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

29、如图，正四棱柱中，，点在上且．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

30、（本小题共14分）

如图，在三棱锥中，，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

31、如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2, O为AD中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.

32、如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

33、如图，在四棱锥中，底面是矩形.

已知.

（Ⅰ）证明平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小.

34、如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, , ,为的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

答案：

1、D2、D3、C4、B5、C6、B7、C8、D 9、A 10、D 11、D 12、C 13、C 14、D 15、B 16、D 17、B 18、C

19、．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．

注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样得分．

20、9   21、   22、   23、24  24、2  25、 26、

27解（Ⅰ）证明：在中，

由于，，，

所以．

故．

又平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

又平面，

故平面平面．

（Ⅱ）解：过作交于，

由于平面平面，

所以平面．

因此为四棱锥的高，

又是边长为4的等边三角形．

因此．

在底面四边形中，，，

所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，

此即为梯形的高，

所以四边形的面积为．

故．

28方法一（综合法）

（1）取OB中点E，连接ME，NE

又

（2）

为异面直线与所成的角（或其补角）

作连接

，

所以 与所成角的大小为

（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作

 于点Q，

又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

，

，所以点B到平面OCD的距离为

方法二(向量法)

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

(1)

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

(2)设与所成的角为,

 , 与所成角的大小为

(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值,

由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为

29解：依题设知，．

（Ⅰ）连结交于点，则．

由三垂线定理知，．

在平面内，连结交于点，

由于，

故，，

与互余．

于是．

与平面内两条相交直线都垂直，

所以平面．

（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，

故是二面角的平面角．

，

，．

，．

又，．

．

所以二面角的大小为．

解法二：

以为坐标原点，射线为轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系．

依题设，．

，

．

（Ⅰ）因为，，

故，．

又，

所以平面．

（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则

，．

故，．

令，则，，．

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小为．

30解法一：

（Ⅰ）取中点，连结．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ），，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中点．连结．

，．

是在平面内的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

过作，垂足为．

平面平面，

平面．

的长即为点到平面的距离．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．

平面，

．

在中，，，

．

．

点到平面的距离为．

解法二：

（Ⅰ），，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则．

设．

，

，．

取中点，连结．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小为．

（Ⅲ），

在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．

如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．

，

点的坐标为．

．

点到平面的距离为．

31、本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

解法一：

（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD, O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,

有OD∥BC且OD=BC, 所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD=2AB=2BC=2, 在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,

所以OB＝，

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以异面直线PB与CD所成的角是.

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.

设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，

在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP, S_△PCD=,

由V_p-DQC=V_Q-PCD,得，解得x=，所以存在点Q满足题意，此时.

32、解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形。因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB。又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE。而AB=A，因此BE⊥平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF。过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.

则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，

PF⊥HG.

所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

解法二  如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系。则相关各点的坐标分别是

A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），E(1,,0)

（Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB.

又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)易知  

   设是平面PBE的一个法向量，则由得

所以

 设是平面PAD的一个法向量，则由得

所以故可取

于是，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

33解：（Ⅰ）证明：在中，由题设，AD=2可得

，于是。在矩形中，.又，

所以平面.

（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.

在中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，故

所以异面直线与所成的角的大小为.

（Ⅲ）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE

因为平面，平面，所以.又，

因而平面，故HE为PE在平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，

，从而是二面角的平面角。

由题设可得，

于是在中，

所以二面角的大小为．

34主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、异面直线所成角即点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。

解：方法一（综合法）

（1）

为异面直线与所成的角（或其补角）

       作AP⊥CD于点P ，连接MP

，

所以 与所成角的大小为

（２）点B和点A到平面OCD的距离相等，

连接OP,过点A作 于点Q，

又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

  ，

，所以点B到平面OCD的距离为

方法二（向量法)

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

(1)设与所成的角为,

  ,

与所成角的大小为

(2)

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

设点B到平面OCD的距离为,则为在向量n上的投影的绝对值,

, .所以点B到平面OCD的距离为

2009届高考数学二轮专题突破训练――立体几何（二）

1、如图是一个空间几何体的主视图（正视图）、侧视图、

  俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这

  个几何体的体积为（    ）.

       A．1     B．      C．      D．

2、一个三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直,且长度分别为1,,3,则这个三棱锥的外接球的表面积为（   ）

A.    B.   C.   D.

3、点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则的最大值是

  A．2         B．4         C．5          D．6

4、如图在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是

5、设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是   (   )

A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l        B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ

C．α⊥γ，β⊥γ， m⊥α         D．n⊥α，n⊥β， m⊥α

6、设是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题

 ①；②；③；④；

其中正确的命题是（     ）

Ａ．①④；　　　       Ｂ．②③；　　　　    Ｃ．①③；　　　　　Ｄ．②④；

7、已知直线、，平面、,给出下列命题:

①若，且，则    ②若，且，则

③若，且，则     ④若，且，则

其中正确的命题是

.①③        .②④       .③④       .①

8、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(    )

A、3π    B、4π    C、3π       D、6π

9、在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C和C₁D与底面A₁B₁C₁D₁所成的角分别为60°和45°，则异面直线B₁C和C₁D所成的角的余弦值为（     ）

   A．              B.          

C.                      D.

10、已知α、β是平面，m、n是直线，则下命题不正确的是（     ）

  A．若m∥n , m⊥α, 则n⊥α           B. 若,m⊥α,  m⊥β, 则α∥β

  C.若m⊥α, m∥n, nβ, 则α⊥β            D.若m∥α,  α ∩β=n则m∥n

11、如图，在正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D₁D的中点，N是A₁B₁上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（    ）

A．平行                                       B．相交

C．异面垂直                                D．异面不垂直

12、在正三棱锥中，斜高线与底面所成的角等于，动点在侧面内，底面，垂足为，，则动点的轨迹为 （    ）

Ａ．线段            Ｂ．圆              Ｃ．一段抛物线     　Ｄ．一段圆弧

13、 棱长为1的正方体在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是　    

14、关于直线与平面，有以下四个命题：

①若且，则；②若且，则；

③若且，则；④若且，则；

其中正确命题的序号是            （把你认为正确命题的序号都填上）