性

质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）过点，即当时，

（4）在（0，+∞）上是增函数

（4）在上是减函数

3．例题分析：

例1、求下列各函数的定义域：（1）          ⑵

解：⑴，故定义域为(0,1)∪(1,+∞)

⑵设lg²x=t,则②为2-t-t²≥0，t²+t-2≤0,-2≤t≤1,-2≤lg²x≤1，

-1≤lgx≤1,10^-1≤x≤10      函数的定义域为[,10]

说明1：求复合函数的定义域，需从对数的真数大于0，开平方时被开方数不小于0，分式的分母不等于0等处入手。同时如果有几个约束条件需要考虑时，应一一研究，防止遗漏。

说明2：此题只是对数函数性质的简单应用，注意书写格式。

练习1 (教材P69------2)

例2、(教材P67例2)比较下列各组数中两个值的大小：

 （1），；  （2）log ₆7 , log ₇ 6；  （3）log ₃1.5 , log ₂ 0.8

解：（1）对数函数y=log_ax在上a>1时是增函数，0<a<1时是减函数；于是a>1时，log_a5.1<log_a5.9; 0<a<1时，log_a5.1>log_a5.9

（2）[方法一] （用中间值比较）log ₆7 >log₆6=1=log₇7>log ₇ 6

[方法二]（用换底公式）log ₆7 与log ₇ 6的大小与的大小lg²7与lg²6的大小lg7与lg6的大小，lg7>lg6,所以log ₆7 >log ₇ 6

（3）log ₃1.5>0> log ₂ 0.8

说明：本例是利用同底的对数函数的增减性比较两个对数的大小的，底数与1的大小关系不明确时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小；非同底时，可以加入中间值进行比较大小。

练习：教材P69------3

例3、将下列各组中数从小到大用<连接:（1） （2）;     ⑶

解：⑴（对这几个数进行分组，分为大于1，0到1之间和小于0三组，然后再在每一小组内根据对数函数性质比较大小），小于0的数log_0.43,大于0小于1的数log_0.20.3、log_0.20.4，大于1的数log_0.30.2,所以log_0.43<log_0.20.4<log_0.20.3<log_0.30.2

⑵（三个数都大于1，没有办法分组，但可以化成同底的对数加以比较）=，=，所以log₄5<3/2<log₂3

说明：多个对数比较大小时，可以分组比较，也可以化成同一底的对数加以比较

练习：比较0.3²，log₂0.5，log_0.51.5的大小（log₂0.5<log_0.51.5<0.3^2）

^{例4、求函数y=lg2x-4lgx+1,(1≤x≤1000)的值域}

^{解：设lgx=t∈[0,3],y=t2-4t+1,画出图象有}

   函数值域为[-3，1]

   练习：当2≤x≤4时，求函数y=的值域

（三）小结：本节课学习了对数函数的定义、图象和性质，掌握比较同底数对数大小的方法；

（四）、课后作业：教材P70-----2,3,7

补充作业

1．设y=lgx, 则下列结论中错误的是   (      )

A. x=1时,y=0  B. x>1时,y>0  C. 0<x<10时,0<y<1  D. x=10时, y=1

2．设，则f(3)的值是________-

3, 比较两个数的大小:

4, 函数的定义域是_________

5．（1）函数与的图象关于__________对称；（2）函数与的图象关于________对称；（3）函数与的图象关于_______对称。

6. 求函数的值域

7. 设，定义在集合A上的函数的最大值比最小值大1，求a的值；

8*.函数，当时，函数的值域为，求a的值

                             [答案]

1、C；   2、256；   3、>;   4、{x|x>2/7且x≠2/5}；5、⑴x轴；⑵y轴；⑶原点；

6、t=x²-6x+17≥8，=t≤8=-3，值域为(-∞，-3]

7、a>1时，↑，log_aπ-log_a2=1,a=π/2；0<a<1时，↓，log_a2 -log_aπ=1，a=2/π；总之，a=π/2或a=2/π

8*、y=(log_a²x+3log_ax+2),设log_ax=t,y=(t²+3t+2)∈，-2≤t≤-1,-2≤ log_ax ≤-1，因为故0<a<1,log_ax↓，a^-2≥x≥a^-1,这样 ，a=

                §3.2.2对数函数⑵对数函数的图象

[三维目标]

[重点难点]图象与解析式的对应关系

[过程]

从图象上看出：在y>0上图象越靠右，底数a的值越大；特别的，取直线y=1，与函数y=log_ax图象的交点的横坐标就是a，因此判断对数函数的图象对应的底数大小，可以先作出y=1这条直线，通过与图象交点的横坐标来体现。

例1、    的图象如图所示，那么a,b,c的大小关系是

解：作出y=1直线知：a>c>b

问题2：对数函数值什么情况下为正，什么情况下为负？

x范围

区间（0，1）

区间（1，+∞）

a>1

-

+

0<a<1

+

-

总结：y=log_ax对于区间（0，1）及（1，+∞）而言，a与x在同区间函数值为正，异区间为负。

例2、已知，则m,n与1的大小关系是___________

解：π-3∈(0,1),二者都小于0，故m、n都大于1，作出图象知m>n>1>0

练习：当时，已知函数的图象必过定点M，则M的坐标为_____

（答案：(1,1)）

例3、试作出下列函数的图象，并指出函数的单调区间，求出函数的值域。

⑴  ；⑵；⑶

   解：⑴y=,在0<x<1上是将y=lgx的图象关于x轴对称，如图，单调增区间，减区间，函数的值域为

    说明：y=|f(x)|的图象在f(x)<0上的图象是将y=f(x)该部分的图象关于x轴对称得到

⑵函数是偶函数，图象关于y轴对称，从而可以得出函数的图象；函数的单调增区间是(0,+∞)，单调减区间是（-∞，0），函数的值域是（-∞，+∞）

说明：作函数的图象可以先根据函数的对称或单调性质，再作图象

⑶，函数的图象可看作由函数的图象在x轴上方（包括在x轴上的点）的部分保持不变，而将x轴下方的部分作关于x轴的对称而得到。所以可以先作的图象，将该图象沿x轴向左平移1个单位，得到函数的图象，再通过对称得到的图象，最后再将得到的图象沿y轴向上平移2个单位，就得到所求的图象了。

单调增区间为，单调减区间为，函数的值域为

[补充习题]

1、写出下列a的范围：⑴___________;⑵;⑶若函数y=log₂|ax-1|的对称轴是直线x=2,则a=________;⑷定义在区间（－1，0）内的函数满足

2、⑴将函数y=log(x-1)的图象经过____________________平移，可得y=log(2x-2)的图象；⑵把函数(a>0, a)的图象向右平移两个单位，图象过定点____________

3、已知下列条件，写出f(x)的解析式。⑴函数f(x)=a^x+k,它的图像经过点（1，7）及（0，4）,f(x)=________________;⑵函数f(x)为奇函数,且x>0时,f(x)=lg(x+1),则f(x)=________

4、函数y=log₂|x-1|的单调增区间是________

5、根据条件，将下列数从小到大用<号相连。⑴设M=log, ________；⑵若a²>b>a>1,试比较的大小.____________；⑶若，则m,n,0,1的关系为______________

6、求函数的值域；

7、已知函数f(x)=2+log₃x(1≤x≤9)，求函数y=[f(x)]²+f(x²)的最大值和最小值，并求出相应x的值．

8*、求函数的定义域.

                       [解答]

1、⑴或a>1；⑵；⑶a=1/2;⑷0<a<1/2

2、⑴向上平行移动1个单位；⑵(4,0)

3、⑴f(x)=4^x+3；⑵f(x)=

4、（1，+∞）

5、⑴N < P <M;⑵;⑶0<n<m<1

6、y=(log_a²x+3log_ax+2),设log_ax=t,y=(t²+3t+2)∈

7、。令， ，y=t²+6t+6↑,t=1时y_min=6,此时x=1;t=1时y_max=13,此时x=3

8*、欲使f(x)有意义，须    1   当k≤0时，1恒成立，即x∈R;当k>0时：若即a>2，1成立⇔；若即a=2,易知，在0<k<1时，x∈R,在k≥1时，f(x)不存在；

若则

     综上所述，(1)当k≤0时，f(x)的定义域是R;

 (2)当k>0时

a)           若a>2, f(x)的定义域是

b)若a=2, 在0<k<1时，f(x)的定义域是R,   在k≥1时，f(x)不存在；

     c) 若0<a<2, f(x)的定义域是

                     §3.2.2对数函数⑶对数的复合函数

    1、能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质。

    2、能运用函数的通性以及对数函数的特性，讨论研究含有对数式的复合函数的值域、单调区间及判断奇偶性；

    1、通过师生之间、学生与学生之间互相讨论、交流，使学生学会共同学习。

2、通过探究、思考、交流，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，以及综合运用知识的能力。

    1、通过本课的学习，使学生认清指数函数和对数函数这两类基本的初等函数在研究方法上的异同之处，使学生体会知识之间的有机联系以及蕴含在其中的数学思想和方法，树立学好数学的信心。

    2、在数学过程中，通过学生的相互交流，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生的数学交流能力，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

进一步理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质的应用

教学重点：1.复合函数的值域及单调区间；2.对数函数的图象和性质在解题中的运用。

教学难点：对数函数性质的应用1．掌握对数形式的复合函数单调性的判断方法；

2．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。

教学过程：

    1、能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质。

2、能运用函数的通性以及对数函数的特性，讨论研究含有对数式的复合函数的性质。

    1、通过师生之间、学生与学生之间互相讨论、交流，使学生学会共同学习。

2、通过探究、思考、交流，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，以及综合运用知识的能力。

    1、通过本课的学习，使学生认清指数函数和对数函数这两类基本的初等函数在研究方法上的异同之处，使学生体会知识之间的有机联系以及蕴含在其中的数学思想和方法，树立学好数学的信心。

    2、在数学过程中，通过学生的相互交流，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生的数学交流能力，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

教学重点：对数函数的图象和性质在解题中的运用。

教学难点：对数函数性质的应用，渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。

例1、求函数的定义域、值域和单调区间？ 并在单调递减区间上给予证明；

解：要使y有意义，须 ?x²+2x+3>0,解得-1<x<3,所以函数的定义域是(-1,3).

设t=?x²+2x+3 由0<?x²+2x+3=-(x-1)²+4≤4,知0<t≤4.

又∵是单调减函数，∴y≥-2,即所求函数的值域是[-2，+∞）.

因为函数t=?x²+2x+3=-(x-1)²+4在（-1，1]上递增。而在[1，3）上递减，

所以函数的单调减区间是（-1，1],单调增区间是[1，3）.

证明：对任意x₁,x₂,-1<x₁<x₂≤1，-x₁²+2x₁+3<-x₂²+2x₂+3, log_1/2(-x₁²+2x₁+3)>log_1/2(-x₂²+2x₂+3), 在（-1，1]上↓，同理在[1，3）上单调增

说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。

练习：求函数的单调区间（解答：增（-∞，1），减（1，+∞））

例2、判断函数的奇偶性

解：函数定义域R,f(-x)=log₂(-x+)=log₂

=log₂(+x)^-1=-log₂(+x)=-f(x),所以f(x)为奇函数

    练习：已知函数，(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性。

（解（1）∵，∴，又由得，   ∴ 的定义域为。（2）∵的定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数。）

    例3、已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.

解：∵a＞0且a≠1

当a＞1时，函数t=2->0是减函数

由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，∴a＞1

由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2, ∴1＜a＜2

当0<a<1时，函数t=2->0是增函数

由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数，∴0<a<1

由x［0，1］时，2-2-1＞0, ∴0<a<1

综上述，0<a<1或1＜a＜2

    练习：若函数在区间上是增函数，的取值范围。

（解：令，∵函数为减函数，∴在区间上递减，且满足，∴，解得，

所以，的取值范围为．）

补充作业

1、已知偶函数f(x)在[2,4]上单调递减,那么与的大小关系是____

2、如右图所示，已知0＜a＜1，则在同一坐标系中，函数y=a^-x，和y＝log_a(－x)的图像只可能是   (      )

3、函数y=lg（）的图像关于_______________对称

4、写出下列函数的单调区间：（1） _____  （2）____________

5、写出函数的定义域、值域：⑴ _________、_____________

   ⑵______________________、_________________

     6、求函数的定义域。

     7、已知，

（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性并证明；（3）求使的x的范围。

8*．已知y=log₄(x+1+ax²).在下列条件下求实数a的范围。(1)若函数的定义域为R；(2)函数的值域为R；

[答案]：

1、>

2、C

3、原点

4、⑴减区间，增区间；⑵减区间，增区间

5、⑴定义域[-1，1]，值域[0，1/2]；⑵定义域(-1,0),值域

6、log_a(x+a)<1；a>1时，x+a<a,定义域为{x|-a<x<0};0<a<1时，定义域为{x|x>0}

7、⑴(-1,1);⑵奇函数；⑶a>1时0<x<1；0<a<1时，-1<x<0

8*、⑴t=x+1+ax²>0恒成立，故a>1/4；⑵t=x+1+ax² 在t>0上没有最值，a=0时可以；a≠0时，作二次函数图象知a>0且△≥0，0<a≤1/4;总之，0≤a≤1/4）               

§3.2.2对数函数⑷对数方程与不等式

[三维目标]

[重点难点]对数不等式的等价转化

二、新课内容：

例1、解下方程： （2） 

  解：(1)；(2) x= -1或

说明：解指数型方程先转化为a^x=N后，有x=log_aN

例2、根据下列条件，分别求实数x的值？（1）

（2）

解：（1）2-x²=x>0,x=1（舍x= -2）  

（2）首先，-<x<1,原方程可以转化为log₄[(3-x)(2x+1)]=log₄[(2-x)(3+x)] (3-x)(2x+1)]= (2-x)(3+x),x=0

说明：解对数方程log_af(x)=log_ag(x)f(x)=g(x)>0求解，注意一定要对数的真数大于0

例3、甲、乙两人解关于x的方程:log₂x+b+clog_x2=0,甲写错了常数b，得到根、；乙写错了常数c，得到根、64.求这个方程真正的根.

解:原方程可变形为log₂²x+blog₂x+c=0.由于甲写错了常数b，得到的根为和，∴c=log₂?log₂=6.由于乙写错了常数c,得到的根为和64,∴b=－(log₂+log₂64)=－5.故原方程为log₂²x－5log₂x+6=0.因式分解得(log₂x－2)(log₂x－3)=0.∴log₂x=2或log₂x=3，即x=4或x=8.         

例4、解不等式⑴ ⑵2×5^x+1-9>0

解：（1）0<x²+2x-3<3x+1x∈

⑵5^x+1>,x+1>log₅,x>log₅-1

说明：解log_af(x)>log_ag(x)的不等式，在a>1时等价于f(x)>g(x)>0;0<a<1时，等价于0<f(x)<g(x)

a^f(x)>N的不等式a>1时等价于f(x)>log_aN，0<a<1时等价于f(x)<log_aN

a^x=Nx=log_aN，log_af(x)=log_ag(x)f(x)=g(x)>0.

log_af(x)>log_ag(x)，在a>1时等价于f(x)>g(x)>0;0<a<1时，等价于0<f(x)<g(x)

a^f(x)>N的不等式a>1时等价于f(x)>log_aN，0<a<1时等价于f(x)<log_aN

思考：a^f(x)>b^g(x)（a,b>0）的对数不等式等价于____________;方程a^f(x)=b^g(x)（a,b>0）的对数不等式等价于__________(两边取常用对数f(x)lga>g(x)lgb,f(x)lga=g(x)lgb)

补充习题：

1、设，函数，则使的的取值范围是 (  )

A.    B.     C.     D.

2、写出下列解集⑴方程6⑵____________  ⑶  log()=x+ log()_____________；⑷不等式log_x-1(x²-1)>0_____

3、y=log₂(ax²+x+a)的值域为R,如果a的范围为T,log₄t∈T,则t的范围是_________

4、方程log₂(x+4)=3^x的实数根的个数为________

5、如果函数在区间上恒有y>1，则实数a的取值范围是____________

6、设f(x)=lg，且当x∈(－∞,1］时f(x)有意义，求实数a的取值范围.

7、已知二次函数f(x)的二次项系数为负数，且对任意x恒有f(2－x)=f(2+x)成立，

解不等式f［(x²+x+)］＞f［(2x²－x+)］

8*、设求x的取值范围，使

解答：1、C

2、⑴{-log₇2};⑵{1，log₅3+1}；⑶{2};⑷(1,)∪(2,+∞)

3、[1，]

4、2

5、1<a<2

6、欲使x∈(－∞,1]时，f(x)有意义，需1+2^x+4^xa＞0恒成立，也就是a＞－［()^x+()^x］(x≤1)恒成立。所以只要a大于u(x)=－［()^x+()^x］在(－∞,1］上的最大值。   注意到u(x)=－［()^x+()^x］在(－∞,1］上是增函数，∴当x=1时，［u(x)］_max=－.所以a的范围即可求出  

7、x²+x+与2x²－x+都大于等于，其以1/2为底的对数就都不大于2，f(x)在x≤2上单调增(x²+x+)＞(2x²－x+) ，0<x²+x+< 2x²－x+,x>或x<

8*、>1, >0,()^2x+()^x-1>0, ()^x>,故a>b>0时x>log_a/b;a=b时x为全体实数；0<a<b时x<log_a/b