十年高考分类解析与应试策略数学
第三章 数 列
●考点阐释
数列是高中代数的重点之一,也是高考的考查重点,在近十年高考试题中有较大的比重.这些试题不仅考查数列,等差数列和等比数列,数列极限的基础知识、基本技能、基本思想和方法,以及数学归纳法这一基本方法,而且可以有效地测试逻辑推理能力、运算能力,以及运用有关的知识和方法,分析问题和解决问题的能力.
重点掌握的是等差、等比数列知识的综合运用能力.
●试题类编
一、选择题
1.(2003京春文,6)在等差数列{an}中,已知a1+a2+a3+a4+a5=20,那么a3等于( )
A.4 B
2.(2002上海春,16)设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )
A.d<0 B.a7=0
C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
3.(2002京皖春,11)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所
有项的和为390,则这个数列有( )
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
4.(2001京皖蒙春,12)根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn=(21n-n2-5)(n=1,2,……,12).
按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是( )
A.5月、6月 B.6月、7月
C.7月、8月 D.8月、9月
5.(2001全国理,3)设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )
A.1 B
6.(2001上海春,16)若数列{an}前8项的值各异,且an+8=an对任意n∈N*都成立,则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为( )
A.{a2k+1} B.{a3k+1} C.{a4k+1} D.{a6k+1}
7.(2001天津理,2)设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,则{an}是( )
A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列
C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
8.(2000京皖春,13)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有( )
A.a1+a101>0 B.a2+a100<0
C.a3+a99=0 D.a51=51
9.(1998全国文,15)等比数列{an}的公比为-,前n项和Sn满足,那么a1的值为( )
A.± B.± C.± D.±
10.(1998全国理,15)在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足,那么a1的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,)
11.(1997上海文,6)设f(n)=1+(n∈N),那么f(n+1)-
f(n)等于( )
A. B.
C. D.
12.(1997上海理,6)设f(n)=(n∈N),那么
f(n+1)-f(n)等于( )
A. B.
C. D.
13.(1996全国理,10)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若,则Sn等于( )
A. B.- C.2 D.-2
14.(1994全国理,12)等差数列{an}的前m项和为30,前
A.130 B
15.(1995全国,12)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,若,则等于( )
A.1 B. C. D.
※16.(1994全国理,15)某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个
分裂二个)经过3小时,这种细菌由1个可以繁殖成( )
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个
17.(1994上海,20)某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得( )
A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立
C.当n=4时该命题不成立 D.当n=4时该命题成立
二、填空题
※18.(2003京春理14,文15)在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白(_____)内.
19.(2003上海春,12)设f(x)=.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为_____.
20.(2002北京,14)等差数列{an}中,a1=2,公差不为零,且a1,a3,a11恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等于 .
21.(2002上海,5)在二项式(1+3x)n和(2x+5)n的展开式中,各项系数之和分别记为an、bn(n是正整数),则= .
22.(2001全国,15)设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q=_____.
23.(2001上海文,2)设数列{an}的首项a1=-7,且满足an+1=an+2(n∈N),则a1+a2+…+a17= .
24.(2001上海,6)设数列{an}是公比q>0的等比数列,Sn是它的前n项和,若Sn=7,则此数列的首项a1的取值范围是 .
25.(2001上海理,2)设数列{an}的通项为an=2n-7(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|= .
※26.(2001上海春,7)计算=_____.
27.(2000上海春,7)若数列{an}的通项为(n∈N*),则(a1+n2an)= .
28.(2000全国,15)设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是an= .
29.(2000上海,12)在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N成立.类比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式 成立.
※30.(2000上海,4)计算=_____.
31.(1999上海,10)在等差数列{an}中,满足
32.(1998上海文、理,10)在数列{an}和{bn}中,a1=2,且对任意自然数n,3an+1-an=0,bn是an与an+1的等差中项,则{bn}的各项和是_____.
33.(1997上海)设0<a<b,则=_____.
※34.(1997上海)=_____.
35.(1995上海)若[1+(r+1)n]=1,则r的取值范围是_____.
※36.(1995上海)(1+)n-2=_____.
37.(1995上海,12)已知log3x=,那么x+x2+x3+…+xn+…=_____.
※38.(1995上海理,11)1992年底世界人口达54.8亿,若人口的年平均增长率为x%,2000年底世界人口数为y(亿),那么y与x的函数关系式是_____.
三、解答题
39.(2003京春,21)如图3―1,在边长为l的等边△ABC中,圆O1为△ABC的内切圆,圆O2与圆O1外切,且与AB,BC相切,…,圆On+1与圆On外切,且与AB、BC相切,如此无限继续下去.记圆On的面积为an(n∈N*).
(Ⅰ)证明{an}是等比数列;
(Ⅱ)求(a1+a2+…+an)的值.
※40.(2003上海春,22)在一次人才招聘会上,有A、B两家公司分别开出它们的工资标准:A公司允诺第一年月工资为1500元,以后每年月工资比上一年月工资增加230元;B公司允诺第一年月工资为2000元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取,试问:
(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年,则他在第n年的月工资收入分别是多少?
(2)该人打算连续在一家公司工作10年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素),该人应该选择哪家公司,为什么?
(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元?(精确到1元)并说明理由.
※41.(2002上海春,21)某公司全年的纯利润为b元,其中一部分作为奖金发给n位职工.奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小.由1至n排序,第1位职工得奖金元,然后再将余额除以n发给第2位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(Ⅰ)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金额,试求a2、a3,并用k、n和b表示ak;(不必证明)
(Ⅱ)证明ak>ak+1(k=1,2,…,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义;
(Ⅲ)发展基金与n和b有关,记为Pn(b).对常数b,当n变化时,求Pn(b).
42.(2002北京春,21)已知点的序列An(xn,0),n∈N,其中,x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A
(Ⅰ)写出xn与xn-1、xn-2之间的关系式(n≥3);
(Ⅱ)设an=xn+1-xn计算a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明;
(Ⅲ)(理)求xn.
※43.(2002全国文,18)甲、乙两物体分别从相距
(Ⅰ)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(Ⅱ)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走
※44.(2002全国理,20)某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
45.(2002全国理,21)设数列{an}满足an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,…,
(Ⅰ)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式;
(Ⅱ)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有
(?)an≥n+2;
(?).
46.(2002北京,19)数列{xn}由下列条件确定:x1=a>0,xn+1=(xn+),
n∈N*.
(Ⅰ)证明:对n≥2,总有xn≥;
(Ⅱ)证明:对n≥2,总有xn≥xn+1;
(Ⅲ)(理)若数列{xn}的极限存在,且大于零,求xn的值.
47.(2002江苏,18)设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3.分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10.
48.(2002上海,21)已知函数f(x)=abx的图象过点A(4,)和B(5,1)
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)记an=log
(Ⅲ)(文)对于(Ⅱ)中的an与Sn,整数96是否为数列{anSn}中的项?若是,则求出相应的项数;若不是,则说明理由.
※49.(2002北京,20)在研究并行计算的基本算法时,有以下简单模型问题:用计算机求n个不同的数v1,v2,…,vn的和=v1+v2+v3+…+vn.计算开始前,n个数存贮在n台由网络连接的计算机中,每台机器存一个数.计算开始后,在一个单位时间内,每台机器至多到一台其他机器中读数据,并与自己原有数据相加得到新的数据,各台机器可同时完成上述工作.
为了用尽可能少的单位时间,使各台机器都得到这n个数的和,需要设计一种读和加的方法.比如n=2时,一个单位时间即可完成计算,方法可用下表表示:
机
器
号
初
始
时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机号
结果
被读机号
结果
被读机号
结果
1
v1
2
v1+v2
v1+v2
v2
1
v2+v1
(Ⅰ)当n=4时,至少需要多少个单位时间可完成计算?
把你设计的方法填入下表
机器号
初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机号
结果
被读机号
结果
被读机号
结果
1
v1
2
v2
3
v3
4
v4
(Ⅱ)当n=128时,要使所有机器都得到,至少需要多少个单位时间可完成计算?(结论不要求证明)
50.(2002天津理,22)已知{an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,
an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,….
(Ⅰ)求a3;
(Ⅱ)证明an=an-2+2,n=3,4,5,…;
(Ⅲ)求{an}的通项公式及其前n项和Sn.
51.(2001全国春季北京、安徽,20)在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3……,an,使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,……,bn,使这
n+2个数成等差数列.记An=a
(Ⅰ)求数列{An}和{Bn}的通项;
(Ⅱ)当n≥7时,比较An与Bn的大小,并证明你的结论.
※52.(2001全国理,21)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元.写出an,bn的表达式;
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
※53.(2001上海,22)对任意函数f(x),x∈D,可按图示3―2构造一个数列发生器,其工作原理如下:
①输入数据x0∈D,经数列发生器输出x1=f(x0);
②若x1D,则数列发生器结束工作;若x1∈D,则将x1反馈回输入端,再输出x2=f(x1),并依此规律继续下去.
现定义f(x)=.
(Ⅰ)若输入x0=,则由数列发生器产生数列{xn}.请写出数列{xn}的所有项;
(Ⅱ)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据x0的值;
(Ⅲ)(理)若输入x0时,产生的无穷数列{xn}满足:对任意正整数n,均有xn<xn+1,求x0的取值范围.
54.(2001上海春,22)已知{an}是首项为2,公比为的等比数列,Sn为它的前n项和.
(1)用Sn表示Sn+1;
(2)是否存在自然数c和k,使得>2成立.
55.(2001全国文,17)已知等差数列前三项为a,4,
(1)求a及k的值;
(2)求.
56.(2000京皖春理,24)已知函数f(x)=
其中f1(x)=-2(x)2+1,f2(x)=-2x+2.
(Ⅰ)在图3―3坐标系上画出y=f(x)的图象;
(Ⅱ)设y=f2(x)(x∈[,1])的反函数为y=g(x),a1=1,a2=g(a1),…,an=g(an-1);求数列{an}的通项公式,并求an;
(Ⅲ)若x0∈[0,),x1=f(x0),f(x1)=x0,求x0.
57.(2000京皖春文,22)已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比相等,且都等于d(d>0,d≠1).若a1=b1,a3=3b3,a5=5b5,求an,bn.
58.(2000全国理,20)(Ⅰ)已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p;
(Ⅱ)设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数列.
59.(2000全国文,18)设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn.
60.(2000上海,21)在XOY平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn),…,对每个自然数n,点Pn位于函数y=2000()x(0<a<10)的图象上,且点Pn、点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.
(Ⅰ)求点Pn的纵坐标bn的表达式;
(Ⅱ)若对每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围;
(Ⅲ)(理)设Bn=b1,b2…bn(n∈N).若a取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数,求数列{Bn}的最大项的项数.
(文)设cn=lg(bn)(n∈N).若a取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数,问数列{cn}前多少项的和最大?试说明理由.
61.(2000上海春,20)已知{an}是等差数列,a1=-393,a2+a3=-768,{bn}是公比为q(0<q<1)的无穷等比数列,b1=2,且{bn}的各项和为20.
(Ⅰ)写出{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)试求满足不等式≤-160b2的正整数m.
62.(2000广东,18)设{an}为等比数列,Tn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an,已知T1=1,T2=4.
(1)求数列{an}的首项和公比;
(2)求数列{Tn}的通项公式.
63.(1999全国理,23)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),该数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.
(Ⅰ)求x1、x2和xn的表达式;
(Ⅱ)求f(x)的表达式,并写出其定义域;
(Ⅲ)证明:y=f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.
64.(1999全国文,20)数列{an}的前n项和记为Sn.已知an=5Sn-3(n∈N).求(a1+a3+…+a2n-1)的值.
65.(1999上海,18)设正数数列{an}为一等比数列,且a2=4,a4=16,求.
66.(1998全国理,25)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项bn;
(Ⅱ)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.
67.(1998全国文,25)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项bn;
(Ⅱ)设数列{an}的通项an=lg(1+),记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与lgbn+1的大小,并证明你的结论.
68.(1998上海,22)若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}前n项的和,对任意正整数n,an=-,4Bn-12An=13n.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)设有抛物线列C1,C2,…,Cn,…抛物线Cn(n∈N*)的对称轴平行于y轴,顶点为(an,bn),且通过点Dn(0,n2+1),求点Dn且与抛物线Cn相切的直线斜率为kn,求极限.
(3)设集合X={x|x=2an,n∈N*},Y={y|y=4bn,n∈N*}.若等差数列{Cn}的任一项Cn∈X∩Y,C1是X∩Y中的最大数,且-265<C10<-125.求{Cn}的通项公式.
69.(1997全国理,21)已知数列{an}{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p、q,其中p>q,且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和,求.
70.(1997全国文,21)设Sn是等差数列{an}前n项的和,已知S3与S4的等比中项为的等差中项为1,求等差数列{an}的通项an.
71.(1997上海理,22)设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:
3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4,…)
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=f()(n=2,3,4,…),求数列{bn}的通项bn;
(3)求和:b1b2-b2b3+b3b4-b4b5…+b2n-1b2n-b2nb2n+1.
72.(1996全国文,21)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.
73.(1996上海,24)设An为数列{an}的前n项和,An=(an-1)(n∈N*),数列{bn}的通项公式为bn=4n+3(n∈N).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若d∈{a1,a2,a3,…,an,…}∩{b1,b2,b3,…,bn,…},则称d为数列{an}与{bn}的公共项,将数列{an}{bn}的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{dn},证明数列{dn}的通项公式为dn=32n+1(n∈N*);
(Ⅲ)设数列{dn}中第n项是数列{bn}中的第r项,Br为数列{bn}的前r项的和,Dn为数列{dn}的前n项和,Tn=Br+Dn,求.
74.(1995全国理,25)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是前n项和.
(Ⅰ)证明:<lgSn+1;
(Ⅱ)是否存在常数C>0使得=lg(Sn+1-C)成立?并证明你的结论.
75.(1994全国文,25)设数列{an}的前n项和为Sn,若对于所有的正整数n,都有Sn=.证明:{an}是等差数列.
76.(1994全国理,25)设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(Ⅰ)写出数列{an}的前三项;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);
(Ⅲ)令bn=(n∈N*),求(b1+b2+…+bn-n).
77.(1994上海,26)已知数列{an}满足条件:a1=1,a2=r(r>0)且{an?an+1}是公比为q(q>0)的等比数列,设bn=a2n-1+a2n(n=1,2,…)
(Ⅰ)求出使不等式anan+1+an+1an+2>an+2an+2(n∈N*)成立的q的取值范围;
(Ⅱ)求bn和,其中Sn=b1+b2+…+bn;
(Ⅲ)设r=219.2-1,q=,求数列{}的最大项和最小项的值.
●答案解析
1.答案:A
解法一:因为an为等差数列,设首项为a1,公差为d,由已知有
∴a1+2d=4,即a3=4
解法二:在等差数列中a1+a5=a2+a4=
所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得
评述:本题考查数列的基本知识,在解析二中,比较灵活地运用了等差数列中项的关系.
2.答案:C
解析:由S5<S6得a1+a2+a3+…+a5<a1+a2+…+a5+a6,∴a6>0
又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0.
由S7>S8,得a8<0,而C选项S9>S5,即a6+a7+a8+a9>02(a7+a8)>0.
由题设a7=0,a8<0,显然C选项是错误的.
3.答案:A
解析:设这个数列有n项
∵ ∴
∴n=13
4.答案:C
解析:n个月累积的需求量为Sn.∴第n个月的需求量为
an=Sn-Sn-1=(21n-n2-5)-[21(n-1)-(n-1)2-5]
=(-n2+15n-9)
an>1.5即满足条件,∴(-n2+15n-9)>1.5,6<n<9(n=1,2,3,…,12),
∴n=7或n=8.
5.答案:B
解析:前三项和为12,∴a1+a2+a3=12,∴a2==4
a1?a2?a3=48,∵a2=4,∴a1?a3=12,a1+a3=8,
把a1,a3作为方程的两根且a1<a3,
∴x2-8x+12=0,x1=6,x2=2,∴a1=2,a3=6,∴选B.
6.答案:B
解析:∵k∈N*,∴当k=0,1,2,…7时,利用an+8=an,
数列{a3k+1}可以取遍数列{an}的前8项.
评述:本题考查了数列的基本知识和考生分析问题、解决问题的能力.
7.答案:B
解法一:an=
∴an=2n-1(n∈N)
又an+1-an=2为常数,≠常数
∴{an}是等差数列,但不是等比数列.
解法二:如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数,则这个数列一定是等差数列.
评述:本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识,以及灵活运用递推式an=Sn-Sn-1的推理能力.但不要忽略a1,解法一紧扣定义,解法二较为灵活.
8.答案:C
解析:a1+a2+a3+…+a101=0
即(a3+a99)=0,∴a3+a99=0.
9.答案:D
解析:,
∴a12=1-q,∴a12=,∴a=±.
10.答案:D
解析:由题意得:且0<|q|<1
∴-q=a12-1 ∴0<|a12-1|<1
又∵a1>1 ∴1<a1<,故选D.
评述:该题主要考查了无穷等比数列各项和公式的应用,挖掘了公式成立的条件.
11.答案:D
解析:∵f(n)=1+
∴f(n+1)=
∴f(n+1)-f(n)=
12.答案:D
解析:f(n)为n个连续自然数的倒数之和
f(n+1)=
∴f(n+1)-f(n)=.
13.答案:B
解析:
,又a1=-1,故,故选B.
评述:本题主要考查等比数列前n项和求和公式的灵活运用,较好地考查了基本知识以及思维的灵活性.
14.答案:C
解法一:由题意得方程组
视m为已知数,解得
∴
解法二:设前m项的和为b1,第m+1到
于是b1=30,b2=100-30=70,公差d=70-30=40.
∴b3=b2+d=70+40=110
∴前
解法三:取m=1,则a1=S1=30,a2=S2-S1=70,从而d=a2-a1=40.
于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210.
评述:本题考查等差数列的基本知识,及灵活运用等差数列解决问题的能力,解法二中是利用构造新数列研究问题,等比数列也有类似性质.解法三中,从题给选择支获得的信息可知,对任意变化的自然数m,题给数列前
15.答案:C
解法一:应用等差数列中,若m+n=p+q,有am+an=ap+aq这条性质来解.
,
所以
解法二:设数列{an}的首项为a1,公差为d,{bn}的首项为b1,公差为m,则
注意n是极限中的变量有
.
解法三:∵
∴不妨令Sn=2n2,Tn=3n2+n
∴an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2(n=1时成立),bn=Tn-Tn-1=6n-2(n=1成立)
∴
评述:该题的形式新颖,其考查目的也明确,正确解答,可考查其数学能力,要是在题型的选用上,采用解答题的形式,那将是一道十分理想的中等难度的试题.可是作为选择题,其考查的有效性大打折扣,因为有相当一部分考生,并没有用正确的方法却也得出了正确答案C.
16.答案:B
解析:由题意知细菌繁殖过程中是一个公比为2的等比数列,所以a10=a1q9=29=512.
评述:该题作为数学应用题,又是选择题,问题的实际背景虽然简单,考查的知识点也集中明确,但也有一定的深刻性.
解决本题,应搞清题意,应求的是a9的值,而不是求和.
从题型设计的角度,本题的立意、取材和构题都是不错的.
17.答案:C
解析:因为当n=k时,命题成立可推出n=k+1时成立,所以n=5时命题不成立,则n=4时,命题也一定不成立,故应当选C.
18.答案:140 85
解析:从题目所给数据规律可以看到:收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律:随着年龄的变化,舒张压分别增加了
评述:本题以实际问题为背景,考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.它不需要技能、技巧及繁杂的计算,需要有一定的数学意识,有效地把数学过程实施为数学思维活动.
19.答案:3
解析:因为f(x)=,∴f(1-x)=
∴f(x)+f(1-x)=.
设S=f(-5)+f(-4)+…+f(6),则S=f(6)+f(5)+…+f(-5)
∴2S=(f(6)+f(-5))+(f(5)+f(-4))+…+(f(-5)+…f(6))=6
∴S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(6)=3.
评述:本题利用课本中等差数列倒序求和为考生提供了一个思维模式,但发现f(x)+
f(1-x)=有一定难度,需要考生有一定的观察能力、思维能力及解决问题的能力.
20.答案:4
解析:设a1,a3,a11组成的等比数列公比为q.
∴a3=a1q=2q,a11=a1q2=2q2
又 ∵数列{an}是等差数列∴a11=a1+5(a3-a1)
∴2q2=a1+5(2q-a1) ∴2q2=2+5(2q-2),解得q=4
21.答案:
解析:由二项式定理,得:an=4n,bn=7n
∴
22.答案:1
解析:方法一:∵Sn-Sn-1=an,又∵Sn为等差数列,∴an为定值.
∴an为常数列,q==1
方法二:an为等比数列,设an=a1qn-1,且Sn为等差数列,
∴2S2=S1+S3,
23.答案:153
解析:∵an+1-an=2,∴{an}为等差数列.
∴an=-7(n-1)?2,∴a17=-7+16×2=25
.
24.答案:(0,7)
解析:∵Sn=7,∴{an}是一个无穷递缩等比数列,0<q<1,
且=7,∴a1=7(1-q),又∵0<q<1,∴1>1-q>0,
∴0<7(1-q)<7,即7>a1>0.
25.答案:153
解析:|a1|+|a2|+…+|a15|=5+3+1+1+3+5+…+23=153.
※26.答案:e2
解析:
27.答案:
解析:.
28.答案:
解析:将(n+1)an+12-nan2+an+1an=0化简得(n+1)an+1=nan.当n=1时,
29.答案:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)
解析:在等差数列{an}中,由a10=0,得
a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=
所以a1+a2+…+an+…+a19=0,
即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1,
又∵a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1
∴a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1=a1+a2+…+a19-n.
若a9=0,同理可得a1+a2+…+an=a1+a2+a17-n.
相应地等比数列{bn}中,则可得:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)
※30.答案:e-2
解析:.
评述:本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力及代数式的变形能力.
31.答案:9
解法一:设公差为d,由题设有3(a1+3d)=7(a1+6d),
解得d=-a1<0,解不等式an>0,
即a1+(n-1)(-a1)>0得n<,则n≤9.
当n≤9时,an>0,同理可得n≥10时an<0.
所以n=9时,Sn取得最大值.
解法二:∵d=-a1
∴Sn=na1+
=
∵-<0,∴(n-)2最小时,Sn最大.
又n∈N,∴n=9.
评述:本题考查等差数列的基本知识,解法二的计算量太大.
32.答案:2
解析:bn=,3an+1=an ∴bn=2an+1,
∴b1+b2+…+bn=2(a1+a2+…+an)-
∵{an}是首项为2,公比为的等比数列
∴(b1+b2+…+bn)=[2(a1+a2+…+an)-
33.答案:-4
解析:
※34.答案:e4
解析:.
35.答案:-2<r<0
解析:∵1=1,又∵[1+(r+1)n]=1,
∴ {[1+(r+1)n]-}=1-1=0,即(r+1)n=0.
则-1<r+1<1,因此-2<r<0.
※36.答案:e
解析:.
37.答案:1
解析:log3x==-log32=log3,故x=,
于是x+x2+x3+…+xn+…=.
※38.答案:y=54.8(1+x%)8
解析:因为y1=54.8,y2=54.8(1+x%),y3=54.8(1+x%)2
从1992年底到2000年底共经过8年,因此有:y=54.8(1+x%)8
39.(Ⅰ)证明:记rn为圆On的半径,则r1=tan30°=.
=sin30°=,所以rn=rn-1(n≥2)
于是a1=πr12=
故{an}成等比数列.
(Ⅱ)解:因为an=()n-
所以(a1+a2+…+an)=.
评述:本题主要考查数列、数列极限、平面几何、三角函数等基本知识,考查逻辑思维能力与解决问题的能力.
※40.解:(1)此人在A、B公司第n年的月工资数分别为:
an=1500+230×(n-1) (n∈N*)
bn=2000(1+5%)n-1(n∈N*)
(2)若该人在A公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12(a1+a2+…+a10)=304200(元)
若该人在B公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12(b1+b2+…+b10)≈301869(元)
因为在A公司收入的总量高些,因此该人应该选择A公司.
(3)问题等价于求Cn=an-bn=1270+230n-2000×1.05n-1(n∈N*)的最大值.
当n≥2时,Cn-Cn-1=230-100×1.05n-2
当Cn-Cn-1>0,即230-100×1.05n-2>0时,1.05n-2<2.3,得n<19.1
因此,当2≤n≤19时,Cn-1<Cn;于是当n≥20时,Cn≤Cn-1.
∴C19=a19-b19≈827(元)
即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.
评述:本题主要考查数列等知识,考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.
※41.(Ⅰ)解:第1位职工的奖金a1=,
第2位职工的奖金a2=(1-)b,
第3位职工的奖金a3=(1-)2b,
……
第k位职工的奖金ak=(1-)k-1b.
(Ⅱ)证明:ak-ak+1=(1-)k-1b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则.
(Ⅲ)解:设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余款,则
f1(b)=(1-)b,f2(b)=(1-)2b,…,fk(b)=(1-)kb,
得Pn(b)=fn(b)=(1-)nb,则.
42.(Ⅰ)解:当n≥3时,xn=.
(Ⅱ)解:a1=x2-x1=a,a2=x3-x2=
由此推测an=()n-
用数学归纳法证明.
(?)当n=1时,a1=x2-x1=a=()
(?)假设当n=k时,公式成立,即ak=()k-
那么当n=k+1时,
,公式仍成立.
根据(?)与(?)可知,对任意n∈N,公式an=()n-
(Ⅲ)解:当n≥3时,有xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1
=an-1+an-2+…+a1,
由(Ⅱ)知{an}是公比为的等比数列,∴.
※43.解:(Ⅰ)设n分钟后第1次相遇,依题意,有2n++5n=70,
整理得n2+13n-140=0.
解得n=7,n=-20(舍去).
第1次相遇是在开始运动后7分钟.
(Ⅱ)设n分钟后第2次相遇,依题意,
有2n++5n=3×70.
整理得n2+13n-6×70=0.
解得n=15,n=-28(舍去).
第2次相遇是在开始运动后15分钟.
※44.解:2001年末汽车保有量为b1万辆,以后各年末汽车保有量依次为b2万辆,b3万辆,…,每年新增汽车x万辆,则b1=30,b2=b1×0.94+x.
对于n>1,有bn+1=bn×0.94+x=bn-1×0.942+(1+0.94)x,
……
∴bn+1=b1×0.94n+x(1+0.94+…+0.94n-1)
=b1×0.94n+.
当≥0,即x≤1.8时,bn+1≤bn≤…≤b1=30.
当<0,即x>1.8时,
,并且数列{bn}逐项增加,可以任意靠近.
因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,即bn≤60(n=1,2,3,…)
则≤60,即x≤3.6(万辆).
综上,每年新增汽车不应超过3.6万辆.
45.(Ⅰ)解:由a1=2,得a2=a12-a1+1=3,
由a2=3,得a3=a22-
由a3=4,得a4=a32-
由此猜想an的一个通项公式:an=n+1(n≥1).
(Ⅱ)证明:(?)用数学归纳法证明:
①当n=1,a1≥3=1+2,不等式成立.
②假设当n=k时不等式成立,即ak≥k+2,那么,
ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,
也就是说,当n=k+1时ak+1≥(k+1)+2.
根据①和②,对于所有n≥1,有an≥n+2.
(?)由an+1=an(an-n)+1及(?),对k≥2,有
ai=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1,
……
∴ak≥2k-
于是,k≥2.
.
46.(Ⅰ)证明:由x1=a>0,及xn+1=(xn+),可归纳证明xn>0
从而有xn+1=(xn+)≥(n∈N),
所以,当n≥2时,xn≥成立.
(Ⅱ)证法一:当n≥2时,因为xn≥>0,xn+1=,
所以xn+1-xn=≤0,
故当n≥2时,xn≥xn+1成立.
证法二:当n≥2时,因为xn≥>0,xn+1=,
所以=1,
故当n≥2时,xn≥xn+1成立.
注:第(Ⅲ)问文科不做理科做
(Ⅲ)解:记,则=A,且A>0.
由,得,
即A=(A+).
由A>0,解得A=,故.
47.解:∵{an}为等差数列,{bn}为等比数列,
∴a2+a4=
已知a2+a4=b3,b2b4=a3,
∴b3=
得 b3=2b32.
∵b3≠0 ∴b3=,a3=.
由a1=1,a3=知{an}的公差为d=,
∴S10=
由b1=1,b3=知{bn}的公比为q=或q=.
当q=时,,
当q=时,.
48.解:(Ⅰ)由=a?b4,1=a?b5,得b=4,a=,故f(x)=4x.
(Ⅱ)由题意an=log2(?4n)=2n-10,
Sn=(a1+an)=n(n-9),anSn=2n(n-5)(n-9).
由anSn≤0,得(n-5)(n-9)≤0,即5≤n≤9.
故n=5,6,7,8,9.
(Ⅲ)a1S1=64,a2S2=84,a3S3=72,a4S4=40.
当5≤n≤9时,anSn≤0.
当n≥10时,anSn≥a10S10=100.
因此,96不是数列{anSn}中的项.
※49.解:(Ⅰ)当n=4时,只用2个单位时间即可完成计算.
方法之一如下:
(Ⅱ)当n=128=27时,至少需要7个单位时间才能完成计算.
50.(Ⅰ)解:由题设得a
若a3=1,则a4=10,a5=,与题设矛盾.
若a3=5,则a4=2,a5=,与题设矛盾.
若a3=10,则a4=1,a5=60,a6=,与题设矛盾.
所以a3=2.
(Ⅱ)用数学归纳法证明:
①当n=3,a3=a1+2,等式成立.
②假设当n=k(k≥3)时等式成立,即ak=ak-2+2,由题设ak+1ak=(ak-1+2)?(ak-2+2),因为ak=ak-2+2≠0,所以ak+1=ak-1+2,
也就是说,当n=k+1时,等式ak+1=ak-1+2成立.
根据①和②,对于所有n≥3,有an+1=an-1+2.
(Ⅲ)解:由a2k-1=a2(k-1)-1+2,a1=0,及a2k=a2(k-1)+2,a2=3得a2k-1=2(k-1),a2k=2k+1,k=1,2,3,….
即an=n+(-1)n,n=1,2,3,….
所以Sn=
评述:本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识,以及准确表述,分析和解决问题的能力.
51.解:(Ⅰ)设公比为q,公差为d,等比数列1,a1,a2,……,an,2,等差数列1,b1,b2,……,bn,2
则A1=a1=1?q
A2=1?q?1?q
又∵an+2=1?qn+1=2得qn+1=2
An=q?q2…qn=q(n=1,2,3…)
又∵bn+2=1+(n+1)d=2 ∴(n+1)d=1
B1=b1=1+d B2=b2+b1=1+d+1+2d Bn=1+d+…+1+nd=n
(Ⅱ)An>Bn,当n≥7时
证明:当n=7时,23.5=8?=An Bn=×7,∴An>Bn
设当n=k时,An>Bn,则当n=k+1时,
又∵Ak+1=? 且Ak>Bk ∴Ak+1>?k
∴Ak+1-Bk+1>
又∵k=8,9,10… ∴Ak+1-Bk+1>0,综上所述,An>Bn成立.
※52.解:(Ⅰ)第1年投入800万元,第2年投入800×(1-)万元……,第n年投入800×(1-)n-1万元
所以总投入an=800+800(1)+…+800(1)n-1=4000[1-()n]
同理,第1年收入400万元,第2年收入400×(1+)万元,……,第n年收入400×(1+)n-1万元
bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)n-1=1600×[()n-1]
(Ⅱ)∴bn-an>0,1600[()n-1]-4000×[1-()n]>0
化简得,5×()n+2×()n-7>0
设x=()n,5x2-7x+2>0
∴x<,x>1(舍),即()n<,n≥5
评述:本题主要考查建立函数关系式,数列求和,不等式等基础知识,考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.
※53.解:(Ⅰ)∵f(x)的定义域D=(-∞?-1)∪(-1,+∞)
∴数列{xn}只有三项x1=,x2=,x3=-1
(Ⅱ)∵f(x)==x即x2-3x+2=0,∴x=1或x=2
即x0=1或2时,xn+1==xn
故当x0=1时,x0=1;当x0=2时,xn=2(n∈N)
(Ⅲ)解不等式x<,得x<-1或1<x<2,
要使x1<x2,则x2<-1或1<x1<2
对于函数f(x)=
若x1<-1,则x2=f(x1)>4,x3=f(x2)<x2
当1<x1<2时,x2=f(x)>x1且1<x2<2
依次类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1>xn(n∈N)
综上所述,x1∈(1,2),由x1=f(x0),得x0∈(1,2)
54.解:(1)由Sn=4(1-),得Sn+1=4(1-)=Sn+2(n∈N*)
(2)要使>2,只要.
因为Sk=4(1-)<4.所以Sk-(Sk-2)=2-Sk>0(k∈N*)
故只要Sk-2<c<Sk(k∈N*) ①
因为Sk+1>Sk(k∈N*),所以Sk-2≥S1-2=1.
又Sk<4,故要使①成立,c只能取2或3.
当c=2时,因为S1=2,所以当k=1时,c<Sk不成立,从而①不成立.
因为S2-2=>c,由Sk<Sk+1(k∈N*),
得Sk-2<Sk+1-2,所以当k≥2时,Sk-2>c,从而①不成立.
当c=3时,因为S1=2,S2=3,所以当k=1,2时,c<Sk不成立,从而①不成立.
因为S3-2=>c,又Sk-2<Sk+1-2,
所以当k≥3时,Sk-2>c,从而①不成立.
故不存在自然数c,k,使成立.
评述:本题主要考查等比数列、不等式知识,以及探索和讨论存在性问题的能力,是高考试题的热点题型.
55.解:(1)由已知a1=a,a2=4,a3=
∴首项a1=2,d=2
Sk=k?a1+d得k?2+d=2550
∴k2+k-2550=0,解得k=50或k=-51(舍去)
∴a=2,k=50.
(2)由Sn=na1+d,得Sn=n(n+1)
∴
∴
评述:本题考查数列和数列极限等基础知识,以及推理能力和运算能力.
56.解:(Ⅰ)函数图象:
说明:图象过(0,)、(,1)、(1,0)点;在区间[0,]上的图象为上凸的曲线段;在区间[,1]上的图象为直线段.
(Ⅱ)f2(x)=-2x+2,x∈[,1]的反函数为:y=1-,
x∈[0,1].
由已知条件得:a1=1,
a2=1-a1=1-,
a3=1-a2=1-+()2,
a4=1+(-)1+(-)2+(-)3,
……
∴an=(-)0+(-)1+(-)2+…+(-)n-1
即an=[1-(-)n],
∴.
(Ⅲ)由已知x0∈[0,,∴x1=f1(x0)=1-2(x0-)2,
由f1(x)的值域,得x1∈[,1].
∴f2(x1)=2-2[1-2(x0-)2]=4(x0-)2.
由f2(x1)=x0,整理得4x02-5x0+1=0,
解得x0=1,x0=.
因为x0∈[0,,所以x0=.
评述:本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质,考查分析、归纳、推理、运算的能力.
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