设数列{a_n}是有穷等差数列，给出下面数表：
a₁　 a₂    a₃     …a_n-1　　a_n 第1行
a₁+a₂  　a₂+a₃  　…a_n-1+a_n 　第2行
…
…
…第n行
上表共有n行，其中第1行的n个数为a₁，a₂，a₃…a_n，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和．记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为b₁，b₂，b₃…b_n．
（1）求证：数列b₁，b₂，b₃…b_n成等比数列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和

n

k=1

akbk．

由以下条件分别给出数列{a_n}：
（1）{3 an}是等比数列；（2）前n项和S_n=n²+2；
（3）a₁＞0，且a_k=

2

k-1

（a₁+a₂+…+a_k-1）（k≥2）；（4）2a_n+1=a_n+a_n-1（n≥2）；
以上能使{a_n}成等差数列的条件的序号是．

已知{a_k}数列是等差数列．
（1）若m+n=p+q，求证a_m+a_n=a_p+a_q．
（2）若a_k=2k-1，求证a₁²+a₂²+…+a_k²=

1

3

k（4k²-1）．
（3）若对于给定的正整数s，有a₁²+a_s+1²=1，求S=a_s+1+…+a_2s+a_2s+1的最大值．

（2012•湖南）对于n∈N^*，将n表示为n=ak×2k+ak-1×2k-1+…+a1×21+a0×20，当i=k时，a_i=1，当0≤i≤k-1时，a_i为0或1．定义b_n如下：在n的上述表示中，当a₀，a₁，a₂，…，a_k中等于1的个数为奇数时，b_n=1；否则b_n=0．
（1）b₂+b₄+b₆+b₈=；
（2）记c_m为数列{b_n}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则c_m的最大值是．