设正数数列{a_n}为等比数列，a₂=4，a₄=16．
（1）求

lim

n→∞

lga1+lga2+…lgan

n2

（2）记b_n=2•log₂a_n，证明：对任意的n∈N^*，有

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

＞

n+1

成立．

（2008•嘉定区一模）设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数m，使得不等式Sn-1005＞

a 2 n

2

对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由；
（3）请构造一个与数列{S_n}有关的数列{u_n}，使得

lim

n→∞

(u1+u2+…+un)存在，并求出这个极限值．

设正数数列{a_n}前n项和为S_n，且对所有自然数n，有

Sn

=

1+an

2

，则通过归纳猜测可得到S_n=．