1、θ取一切实数时，连接A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ， 6sinθ)两点的线段的中点为M，求点M的轨迹．

简答：轨迹为焦点在y轴上的椭圆。

2、已知平面上一个定点C（－1，0）和一条定直线L：x=－4，P为该平面上一动点，作

PQ⊥L，垂足为，（1）求点P的轨迹方程；（2）求 的取值范围．

解：（Ⅰ）由，     2分

设P（x，y），得，，

∴ 点P的轨迹方程为．                3分

（Ⅱ）设P（x，y），，      

   2分

由，故有                         3分

内  容

要  求

A

B

C

2．空间向

量与立体几何

空间向量的有关概念

√

空间向量共线、共面的充分必要条件

√

空间向量的线性运算

√

空间向量的坐标表示

√

空间向量的数量积

√

空间向量的共线与垂直

√

直线的方向向量与平面的法向量

√

空间向量的应用

√

1．（本小题满分12分） 如图，已知直二面角，， ，，，，直线和平面所成的角为．

（I）证明；

（II）求二面角的所成角的余弦值．

（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点M使得直线BM与平面所成角为。

证明：

（1）因为，，，所以，

又因为，所以．

而，所以，

，，          ……………………………4分

（2）为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，所以是和平面所成的角，则．

不妨设，则，．

在中，，

所以．

则相关各点的坐标分别是

，，，，OA=（0，，0）

所以，．=（，0,1）………6分

设是平面的一个法向量，由得

取，得．                                ………8分

易知是平面的一个法向量．                   ………10分

设二面角的平面角为，由图可知，．

所以．故二面角B-AC-P所成角的余弦值为

2．如图，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁，A₁A的中点，

（1）求                         

    （2）求

    （3）（14分）

解：（1）以射线建立坐标系，       ……1分

则B（0，1，0）

                           ……4分

                     ……7分

……10分

3、右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，

截面为．已知，，，，．

（1）设点是的中点，证明：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求此几何体的体积．

解法一：

（1）证明：作交于，连．

则．

因为是的中点，

所以．

则是平行四边形，因此有．

平面且平面，

则面．

（2）如图，过作截面面，分别交，于，．

作于，连．

因为面，所以，则平面．

又因为，，．

所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因为，所以，故，

即：所求二面角的大小为．

（3）因为，所以

．

．

所求几何体体积为

．

解法二：

（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，因为是的中点，所以，

．

易知，是平面的一个法向量．

因为，平面，所以平面．

（2），，

设是平面的一个法向量，则

则，得：

取，．

显然，为平面的一个法向量．

则，结合图形可知所求二面角为锐角．

所以二面角的大小是．

4（10分）、如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，  为的中点.

   （Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，

并求出点到和的距离.

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则的坐标为、

、、、

、，

从而

设的夹角为，则

∴与所成角的余弦值为.

   （Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则

，由面可得，

  ∴

即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.

三、导数与应用

内  容

要  求

A

B

C

3．导数及其应用

简单的复合函数的导数

√

定积分

√

1．（本小题满分8分）求曲线及直线所围封闭区域的面积．

解方程组，得或，

∴面积22、已知，求的值，使

2、如图，过点A(6，4)作曲线的切线l．

    （1）求切线l的方程；

    （2）求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S．

2、解：（1）∵，∴，∴切线l的方程为：，即材．

       （2）令=0，则x=2．令=0，则x= -2。

    ∴A===．

内  容

要  求

A

B

C

4．推理与证明

数学归纳法的原理

√

数学归纳法的简单应用

√

1．已知数列满足，且（）

（1）求的值

（2）由（1）猜想的通项公式，并给出证明。

解：（1）由得，

求得                               ……3分

（2）猜想                                     ……5分

证明：①当n=1时，猜想成立。                            ……6分

②设当n=k时时，猜想成立，即，      ……7分

则当n=k+1时，有，

所以当n=k+1时猜想也成立                                ……9分

③综合①②，猜想对任何都成立。                  ……10分

2、已知数列

（1）求；（2）证明．

解：（1）    4分

方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=0时，   ∴，命题正确．

2°假设n=k时有

   则

而

又  ∴时命题正确．

由1°、2°知，对一切n∈N时有        6分

方法二：用数学归纳法证明：

       1°当n=0时，∴；

    2°假设n=k时有成立，

       令，在[0，2]上单调递增，所以由假设

有：即

也即当n=k+1时  成立，所以对一切。  6分  

五、计数原理

内  容

要  求

A

B

C

5．计数原理

分类加法计数原理、分步乘法计数原理

√

排列与组合

√

二项式定理

√

1．已知的展开式中含xⁿ项的系数相等，求实数m的取值范围.

解：设的展开式为T_r＋1，则T_r＋1＝，令2n＋1－r＝n

得r＝n＋1，所以xⁿ的系数为．                                     5分

由＝，得m＝是关于n的减函数，∵n∈N^＋，∴

所以的取值范围是     

六、概率统计

内  容

要  求

A

B

C

6．概率统计

离散型随机变量及其分布列

√

超几何分布

√

条件概率及相互独立事件

√

次独立重复试验的模型及二项分布

√

离散型随机变量的均值和方差

√

1.（本小题满分12分）假定某射手每次射击命中的概率为 ，且只有3发子弹。该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完。设耗用子弹数为X，求：

（Ⅰ）目标被击中的概率；

（Ⅱ）X的概率分布；
（Ⅲ）均值E(X)

解：①第一次击中

第二次击中

第三次击中……………………………………………………………6分

②

1

2

3

2．（本小题满分12分）假定某射手每次射击命中的概率为，且只有发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为，求：

⑴目标被击中的概率；

⑵的概率分布；

⑶均值．

解：⑴目标被击中的概率为；

⑵的分布列为

（）

⑶均值．

3．某地机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，假若他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率．

解：X的取值分别为1，2，3，4.

    X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（X＝1）＝0.6.

    X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P（X＝2）＝(1－0.6) ×0.7＝0.28

    X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故

P（X＝3）＝(1－0.6) (1－0.7)×0.8＝0.096

X＝4表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P（X＝4）＝(1－0.6) (1－0.7) (1－0.8)＝0.024

∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4

P

0.6

0.28

0.096

0.024

∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.

李明在一年内领到驾照的概率为  1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.

4、某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．

解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，

（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

．

（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，

所以，

故．

解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则

，

所以，

，

，

．

于是，

5、在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是.，每次命中与否互相独立.

  (1) 求油罐被引爆的概率.

  (2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望

解：（1）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C

∴P(A)=1-         答：油罐被引爆的概率为

（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5，  

       P(ξ=2)=，   P(ξ=3)=C     ，

P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C

ξ

2

3

4

5

        故ξ的分布列为：

Eξ=2×+3×+4×+5×=.

6、在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．

（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（2）求随机变量的分布列和数学期望．

解：（1）、可能的取值为、、，

  ，，

，且当或时，．      

因此，随机变量的最大值为．

有放回抽两张卡片的所有情况有种，

．                             

答：随机变量的最大值为，事件“取得最大值”的概率为．

（2）的所有取值为．

时，只有这一种情况，

 时，有或或或四种情况，

时，有或两种情况．

，，．         

则随机变量的分布列为：

因此，数学期望．

7、学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．

(I) 求文娱队的人数；

(II) 写出的概率分布列并计算．

解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是

（7-2 x）人．

 (I)∵，

∴．……………………………………3分

即．

∴．

∴x=2．           ……………………………………5分

故文娱队共有5人．……………………………………7分

(II) 的概率分布列为

0

1

2

P

，……………………………………9分

，……………………………………11分

∴ =1．   …………………………14分

七、矩阵与变换

内  容

要  求

A

B

C

8．矩阵与变换

矩阵的有关概念

√

二阶矩阵与平面向量

√

常见的平面变换

√

矩阵的复合与矩阵的乘法

√

二阶逆矩阵

√

二阶矩阵的特征值和特征向量

√

二阶矩阵的简单应用

√

1.求出矩阵A=  的特征值和特征向量。

.矩阵A的特征多项式为

…………………………3分

令得A的特征值为1或－1

将1代入二元一次方程组

解得：

令且

于是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为…………………………………………6分

同理可得矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为…………………………………8分

2．已知，，求二阶方阵，使.

解：设，按题意有  ……2分

根据矩阵乘法法则有                            ……6分

解之得                                              ……8分

∴                                            ……10分

3．（本小题满分10分）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．

（1）求矩阵的特征值及相应的特征向量；

（2）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．

4．（1）由条件得矩阵，

它的特征值为和，对应的特征向量为及；

（2），

椭圆在的作用下的新曲线的方程为．

5．已知变换A：平面上的点P（2，－1）、Q（－1，2）分别变换成点P₁（3，－4）、

Q₁（0，5）

（1）求变换矩阵A；

（2）判断变换A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A^－1；如不可逆，说明理由．

（1）解：假设所求的变换矩阵A=，依题意，可得

     及

即  解得所以所求的变换矩阵。    6分                    

（2）                                             4分

6、已知矩阵，其中，若点P（1,1）在矩阵A的变换下得到点，

（1）求实数a的值；    （2）求矩阵A的特征值及特征向量

解：（1）由  =，得

（2）由（1）知  ，则矩阵A的特征多项式为

令，得矩阵A的特征值为-1或3

当时 二元一次方程

∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为

    当时，二元一次方程

∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为

7、在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0）、B（1，1）、C（0，2），

求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积

这里M=  N=  

解：在矩阵N=  的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转得到的图形，在矩阵M=  的作用下，一个图形变换为与之关于直线对称的图形。因此

△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积等于△ABC的面积，即为1

八、坐标系与参数方程

内  容

要  求

A

B

C

9．坐标系与参数方程

坐标系的有关概念

√

简单图形的极坐标方程

√

极坐标方程与直角坐标方程的互化

√

直线、圆和椭圆的参数方程

√

参数方程与普通方程的互化

√

参数方程的简单应用

√

1.（本小题满分8分）求直线 （）被曲线所截的弦长。

解：把化为普通方程为，             ……3分

把化为直角坐标系中的方程为，……6分

∴圆心到直线的距离为，                                      ……8分

∴弦长为．                                      ……10分

由

得直线方程为…………………………………………3分

∴

………………………………………………………6分

即

圆心到直线的距离

∴弦长＝

　　　＝…………………………………………………………8分

2．已知某圆的极坐标方程为：ρ² －4ρcos(θ－)＋6=0．

（1）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；

（2）若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．

解：（1）x²＋y²－4x－4y＋6＝0；                    6分

（2）x＋y＝4＋2sin（）  最大值6，最小值2                   4分

3、在极坐标系中，设圆上的点到直线的距离为d，求d的最大值；

简答：d的最大值为7。

4、⊙和⊙的极坐标方程分别为．

（1）把⊙和⊙的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过⊙和⊙交点的直线的直角坐标方程．

解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（1），，由得．

所以．

即为⊙的直角坐标方程．

同理为⊙的直角坐标方程．

（2）由解得．

即⊙，⊙交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．