解：（1）设椭圆方程为

则

∴椭圆方程为

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m

又K_OM=

……………………………………………………5分

由……………………………………6分

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可…………9分

设……………………10分

则

由

……………………………………………………10分

而

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分

37、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)已知椭圆的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且，定点A（－4，0）.

   （1）求证：当时.，；

   （2）若当时有，求椭圆C的方程；

   （3）在（2）的条件下，当M、N两点在椭圆C运动时，当 的值为6时, 求出直线MN的方程.

解：（1）设，

则，

当时，，

由M，N两点在椭圆上，

若，则（舍去），   （4分）

  。（5分）

   （2）当时，不妨设 （6分）

又，， （8分）

椭圆C的方程为。  （9分）

   （3）因为=6,  （10分）

由(2)知点F(2,0), 所以|AF|=6,  即得|y_M-y_N|=  （11分）

当MN⊥x轴时, |y_M-y_N|=|MN|=, 故直线MN的斜率存在, （12分）

不妨设直线MN的方程为

联立，得，

=, 解得k=±1。

此时，直线的MN方程为，或。  （14分）

38、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)在平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, .

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ) 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、 的中点分别为．求证：直线必过定点．

解：(Ⅰ)依题意知，直线的方程为：．点是线段的中点，且⊥，∴是线段的垂直平分线．…………………….2分

∴是点到直线的距离．

∵点在线段的垂直平分线，∴．…………4分

故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：．    ……….7分

(Ⅱ) 设，，直线AB的方程为…………….8分

　　　　　　　　　则

（1）―（2）得，即，……………………………………9分

代入方程，解得．

所以点Ｍ的坐标为．……………………………………10分

同理可得：的坐标为．

直线的斜率为，方程为

，整理得，………………12分

显然，不论为何值，均满足方程，

所以直线恒过定点．………………14

39、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)在平面直角坐标系中，已知点、，是平面内一动点，直线、的斜率之积为．

    （Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作直线与轨迹交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．

解：（Ⅰ）依题意，有（），化简得

（），

这就是动点的轨迹的方程；

    （Ⅱ）依题意，可设、、，则有

，

两式相减，得，由此得点的轨迹方程为

（）．

    设直线：（其中），则

，

故由，即，解之得的取值范围是．

40、(广东省四校联合体第一次联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为且过点(4，-)

   （1）求双曲线方程；

   （2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；

   （3）求△F₁MF₂的面积.

解：（1） ∵离心率e=

∴设所求双曲线方程为x²-y²=(≠0)

则由点(4，-)在双曲线上

知=4²-(-)²=6

∴双曲线方程为x²-y²=6

    （2）若点M(3,m)在双曲线上

   则3²-m²=6     ∴m²=3

   由双曲线x²-y²=6知F₁(2,0),F₂(-2,0)

   ∴

   ∴,故点M在以F₁F₂为直径的双曲线上.

（3）=×2C×|M|=C|M|=2×=6

41、(广东省五校2008年高三上期末联考)椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．

（1）求椭圆方程；

（2）若，求m的取值范围．

解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c²＝a²－b²，由条件知a-c＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程为：y²＋＝1　     ………………………………………4分

（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，

∴λ＋1＝4，λ＝3　            ………………………………………………6分

设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　  ………………………………………………9分

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　  ………………………………………………11分

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

容易验证k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）     ………………………14分

42、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.

    (1)求抛物线方程；

    (2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标。

解：(1)抛物线y²=2px的准线为x= -，于是4+=5，∴p=2.

   ∴抛物线方程为y²=4x……6分

   (2)∵点A是坐标是(4，4)， 由题意得B(0，4)，M(0，2)，

   又∵F(1，0)，∴k_FA=；MN⊥FA，∴k_MN=-，

   则FA的方程为y=(x-1)，MN的方程为y-2= -x，

              y=(x-1)      x=

解方程组           ，得

              y-2= -x       y=

   ∴N的坐标(，)…….12分

43、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)设向量，过定点，以方向向量的直线与经过点，以向量为方向向量的直线相交于点P，其中

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）设过的直线与C交于两个不同点M、N，求的取值范围

解：（1）设∵，

∴，2分

过定点，以方向向量的直线方程为：

过定点，以方向向量的直线方程为：

联立消去得：∴求点P的轨迹C的方程为   6分

（2）当过的直线与轴垂直时，与曲线无交点，不合题意，

∴设直线的方程为：，与曲线交于

由

∴

   ∵，∴的取值范围是

44、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知曲线的方程为：

   （1）若曲线是椭圆，求的取值范围；

   （2）若曲线是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为，求此双曲线的方程.

解：（1）当

它表示椭圆的充要条件是

   （2）方程表示双曲线的充要条件是：

当

其一条渐近线斜率为：

此时双曲线的方程为：

当，双曲线焦点在y轴上：

其一条渐近线斜率为：

综上可得双曲线方程为：

45、(河北衡水中学2008年第四次调考)如图所示，已知圆，定点A（3,0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。

   （1）求曲线E的方程；

   （2）求过点Q（2,1）的弦的中点的轨迹方程。

解：（1）∵ 

     ∴为的中垂线，            …………2分

又因为，所以

所以动点的轨迹是以点和为焦点的椭圆，

且                                …………4分

所以曲线的方程为：；        …………6分

（2）设直线与椭圆交与两点，中点为

由点差法可得：弦的斜率…………8分

由，Q（2,1）两点可得弦的斜率为，…………10分

所以，

化简可得中点的轨迹方程为： …………12分

46、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且.

   （1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；

   （2）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.

解：（1）设P的坐标为，由得

（2分） ∴（（4分）

化简得   ∴P点在双曲线上，其方程为（6分）

   （2）设A、B点的坐标分别为、，

由  得（7分）

，（8分）

∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即

解得（9分）

∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴，

即，（10分）

∴

∴

解得，故满足题意的k值存在，且k值为.

47、(河北省正定中学高2008届一模)已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆C₁的方程；

（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点F_2­，直线过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF₂垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C₂的方程；

（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足，求的取值范围.

解：（本小题满分12分）

解：（1），

        ∵直线l：x－y+2=0与圆x²+y²=b²相切，∴=b，∴b=，b²=2，∴a³=3.     ∴椭圆C₁的方程是          ……………………………….(3分)

（2）∵MP＝MF，

∴动点M到定直线l₁：x＝－1的距离等于它的定点F₂（1，0）的距离，

∴动点M的轨迹是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，                     

 ∴点M的轨迹C₂的方程为。    ………………………………………….(7分) 

（3）Q（0，0），设，

，       

由得  ，

，化简得，

当且仅当时等号成立，

，又∵y­₂²≥64，

∴当.  

         故的取值范围是.…………………………………………….(12分)

48、已知椭圆是椭圆上纵坐标不为零的两点，若其中F为椭圆的左焦点．

   （Ⅰ）求椭圆的方程；

   （Ⅱ）求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围．

解：（Ⅰ）由已知，得

………4分

   （Ⅱ）∵A、B是椭圆上纵坐标不为零的点，

∴A、F、B三点共线，且直线AB的斜率存在且不为0.

又F（－1，0），则可记AB方程为并整理得

……………………………………6分

显然△>0，设

……………………8分

直线AB的垂直平分线方程为

令x=0，得……………………………………10分

∵“=”号，

∴，

所以所求的取值范围是……………………………………12分

49、过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点.

   （1）求证：为定值；

   （2）若，求动点的轨迹方程.

解：（1）设直线AB：

由得

…………………………………….3分

…………………………………………………………………………………………….7分

（2），所以四边形BOAM是平行四边形

……………………………………………………………….9分

　　　①

　　②

由①②及……………………………………………..13分

…………14分

50、(山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足.

   （1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程；

   （2）过点Q(－2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点，且以为方向向量的直线上一动点，满足（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

解：（1）设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P（x₁，y₁）是方程x² +y² =4的圆上的任意一点，则

    则有：得，

    轨迹C的方程为

   （1）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.

    所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)两点，N点所在直线方程为

    由

    由△=

    即 …   

    即，∴四边形OANB为平行四边形

    假设存在矩形OANB，则，即，

    即，

    于是有    得 … 设，

即点N在直线上.

 ∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为