26. (2011山东临沂，25，11分)如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．

　　 (1)求证：EF＝EG；

(2)如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．(1)中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图3，将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a,BC＝b，求的值．

　　　　　 图1　　　　　　　　　　　　　 图2　　　　　　　　　　 图3

(1)证明：∵∠GEB+∠BEF＝90°，∠DEF+∠BEF＝90°，

　　 　　　　　∴∠DEF＝GEB，………………………………………………( 1分)

　　　　　　　 又∵ED＝BE，

　　　　　　　 ∴Rt△FED≌Rt△GEB，…………………………………………( 2分)

　　　　　　　　 ∴EF＝EG．……………………………………………………( 3分)

(2)成立．……………………………………………………………………( 4分)

　 证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，

　　　 则EH＝EI，∠HEI＝90°，…………………………………( 5分)

　　　　 ∵∠GEH+∠HEF＝90°，∠IEF+∠HEF＝90°，

　　　　 ∴∠IEF＝∠GEH，……………………………………………( 6分)

　　　　 ∴Rt△FEI≌Rt△GEH,

　　　　 ∴EF＝EG．………………………………………………………(7分)

　(3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N ，

则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,………………………( 8分)

　　 　　∴＝＝，

　　　　 ∴＝＝, …………………………………………(9分)

　　　　 ∵∠GEM+∠MEF＝90°，∠FEN+∠MEF＝90°，

　　　　 ∴∠FEN＝∠GEM，

∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………(10分)

∴＝＝．…………………………………………(11分)

25. (2011山东临沂，22，7分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F

(1)求证：AC＝AD；

(2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形；

[解](1)证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠BCA，

∴∠EAC＝∠B+∠BCA＝2∠B，

∵AD平分∠FAC，

∴∠FAD＝∠B，

∴AD∥BC，……………………………………………………………………(2分)

∴∠D＝∠DCE，

∵CD平分∠ACE，

∴∠ACD＝∠DCE，

∴∠D＝∠ACD，………………………………………………………………(3分)

∴AC＝AD；……………………………………………………………………(4分)

(2)证明：∵∠B＝60°，

∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°，

∴∠DCE＝∠B＝60°，………………………………………………………(5分)

∴DC∥AB,

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，……………………………………………(6分)

又由(1)知AC＝AD，

∴AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．……………………………………………………(7分)

24. (2011江苏南通，26，10分)(本体满分10分)

　　　 已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△(如图2).

(1)　　　 探究AE′与BF'的数量关系，并给予证明；

(2)　　　 当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.

[答案](1)AE′＝BF

证明：如图2，

∵在正方形ABCD中， AC⊥BD

∴∠＝∠AOD＝∠AOB＝90°

即∠AOE′+∠AOF′＝∠BOF′+∠AOF′

∴∠AOE′＝∠BOF′

又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA

∴OE′＝OF′

∴△OAE′≌△OBF′

∴AE′＝BF

(2)作△AOE′的中线AM，如图3.

　　　 则OE′＝2OM＝2OD＝2OA

　　　 ∴OA＝OM

　　　 ∵α＝30°

　　　 ∴∠AOM＝60°

　　　 ∴△AOM为等边三角形

∴　　 MA＝MO＝ME′，∠＝∠

又∵∠+∠＝∠AMO

即2∠＝60°

∴∠＝30°

∴∠+∠AOE′＝30°+60°＝90°

∴△AOE′为直角三角形.

23. (2011江苏南京，21，7分)如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

⑴求证：△ABF≌△ECF

⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

[答案]证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.

∵EC=DC, ∴AB=EC．

在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，

∴⊿ABF≌⊿ECF．

(2)解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．

∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．

∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．

解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．

又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，

∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠ FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．

又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．

∴口ABEC是矩形．

22. (2011四川广安，23，8分)如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE

[答案]证明：∵ABCD是菱形，∠ABC= 60°

　　　　　　 　∴BC=AC=AD

　　　　　　　 又∵DE∥AC　　 ∴ACED为平行四边形

　　　　　　　 ∴CE=AD=BC　 DE=AC

　　　　　　　 ∴DE=CE=BC

　　　　　　　 ∴DE=BE

21. (2011山东潍坊，18，8分)已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.

(1)如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；

(2)如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.

[解](1)∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.

∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.

∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.

又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.

∴PE+PF=OF+FB=OB=.

(2)∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.

∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.

∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.

又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.

∴PE－PF=OF－BF= OB=.

20．(2011山东聊城，25，12分)如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S(cm2)．

(1)当t＝1秒时，S的值是多少？

(2)写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围．

(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

[答案](1)如图甲，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，由S＝S_梯形EGCG－S_EBF－S_FCG＝(10+2)×8－×10×4－×4×2＝24

(2)如图(甲)，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动，此时AE＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t²－32t+48(0≤t≤2)

(3)如图乙，当点F追上点G时，4t＝2t＝8，解得t＝4，当2＜t≤4时，CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即S＝－8t+32(2＜t≤4)，

(3)如图(甲)，当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2，在EFF和FCG中，B＝C＝90，，①若，即，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF②若，即，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF，综上知，当t＝或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似

19. (2011山东济宁，17， 5分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．

[答案]证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，OB=OD，…………………………………………1分

∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，…………………………2分

∴△OED≌△OFB，

∴DE=BF，………………………………………………………3分

又∵DE∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形，………………………………4分

∵EF⊥BD，

∴四边形BEDF是菱形．………………………………………5分

18. (2011江苏泰州，28，12分)在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．

(1)当∠BAO=45°时，求点P的坐标;

(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

(3)设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．

[答案]解：(1)当∠BAO=45°时，∠PAO=90°，在Rt⊿AOB中，OA＝AB＝，在Rt⊿APB中，PA＝AB＝。∴点P的坐标为(，)

(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，点P都在∠AOB的平分线上；

(3)＜h≤。当点B与点O重合时，点P到AB的距离为，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到AB的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到AB的距离最大为，然后又逐渐减小到，∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ，∴点P到x轴的距离的取值范围是＜h≤。

17. (2011江苏泰州，24，10分)如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直平分线段AC，垂足为O，直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．

(1)△ABC与△FOA相似吗？为什么？

(2)试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．

[答案](1)相似.由直线L垂直平分线段AC，所以AF=FC，∴∠FAC=∠ACF，又∵∠ABC=∠AOF=90°，∴△ABC∽FOA．

(2)四边形AFCE是菱形。理由：∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，又∵AO＝CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AFCE为平行四边形，又AF=FC，所以平行四边形AFCE为菱形．