4. (2011浙江杭州， 18，6)四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d＝1：2：3：4．

(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)；

　(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．

[答案](1)只能取b,c,d三条线段，作图略

(2) 四条线段中任取三条共有四种等可性结果：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)，其中能组成三角形的只有(b，c，d)，所以以它们为边能作出三角形的概率是．

2. (2011山东滨州，23，9分)根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形(不写做法，但需保留作图痕迹)；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。

(1)如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°

①作图：

②猜想：

③验证：

(2)如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°.

①作图：

②猜想：

③验证：

[答案]

(1)①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可，

在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………2分

②猜想：∠A+∠B=90°，………………4分

③验证：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………5分

(2)答：①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。

在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………6分

②猜想：∠B=3∠A………………8分

③验证：如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………9分

1. (2011江苏扬州，26,10分)已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分线AD交BC边于D。

(1)以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=,　 求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积。(结果保留根号和)

[答案](1)如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。

判断结果：BC是⊙O的切线。连结OD。

　 ∵AD平分∠BAC　　　 ∴∠DAC=∠DAB

∵OA=OD　　　　　　　 ∴∠ODA=∠DAB

∴∠DAC=∠ODA　　　 ∴OD∥AC　　 ∴∠ODB=∠C

∵∠C=90º　　　　　　 ∴∠ODB=90º　 即：OD⊥BC

∵OD是⊙O的半径　　　 ∴ BC是⊙O的切线。

(2) 如图，连结DE。

　 设⊙O的半径为r，则OB=6-r，

在Rt△ODB中，∠ODB=90º，

∴ 0B²=OD²+BD² 　即：(6-r)²= r²+()²

∴r=2　　 ∴OB=4　　 ∴∠OBD=30º，∠DOB=60º

∵△ODB的面积为，扇形ODE的面积为

∴阴影部分的面积为-。

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