26、(2011•临沂)如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标;

(3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PMx轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)由于抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,待定系数法即可求出抛物线的解析式;

(2)根据平行四边形的性质,对边平行且相等以及对角线互相平方,可以求出点D的坐标;

(3)根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标.

解答:解(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),且过A(﹣2,0),B(﹣3,3),O(0,0)可得

解得

故抛物线的解析式为y=x2+2x;

(2)①当AE为边时,

∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,

∴DE=AO=2,

则D在x轴下方不可能,

∴D在x轴上方且DE=2,

则D1(1,3),D2(﹣3,3);

②当AO为对角线时,则DE与AO互相平方,

因为点E在对称轴上,

且线段AO的中点横坐标为﹣1,

由对称性知,符合条件的点D只有一个,与点C重合,即C(﹣1,﹣1)

故符合条件的点D有三个,分别是D1(1,3),D2(﹣3,3),C(﹣1,﹣1);

(3)存在,

如上图:∵B(﹣3,3),C(﹣1,﹣1),根据勾股定理得:

BO2=18,CO2=2,BC2=20,

∴BO2+CO2=BC2

∴△BOC是直角三角形.

假设存在点P,使以P,M,A为顶点的 三角形与△BOC相似,

设P(x,y),由题意知x>0,y>0,且y=x2+2x,

①若△AMP∽△BOC,则=

即 x+2=3(x2+2x)

得:x1=,x2=﹣2(舍去).

当x=时,y=,即P().

②若△PMA∽△BOC,则=

即:x2+2x=3(x+2)

得:x1=3,x2=﹣2(舍去)

当x=3时,y=15,即P(3,15).

故符合条件的点P有两个,分别是P()或(3,15).

点评:本题考查的是二次函数的综合题,首先用待定系数法求出抛物线的解析式,然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标.

25、(2011•临沂)如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角扳的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.

(1)求证:EF=EG;

(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明:若不成立.请说明理由:

(3)如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若AB=a、BC=b,求的值.

考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;矩形的性质;正方形的性质。

分析:(1)由∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°,可得∠DEF=∠GEB,又由正方形的性质,可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB,则问题得证;

(2)首先点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为H、I,然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH,则问题得证;

(3)首先过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为M、N,易证得EM∥AB,EN∥AD,则可证得△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB,又由有两角对应相等的三角形相似,证得△GME∽△FNE,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.

解答:(1)证明:∵∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°,

∴∠DEF=∠GEB,

又∵ED=BE,

∴Rt△FED≌Rt△GEB,

∴EF=EG;

(2)成立.

证明:如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为H、I,

则EH=EI,∠HEI=90°,

∵∠GEH+∠HEF=90°,∠IEF+∠HEF=90°,

∴∠IEF=∠GEH,

∴Rt△FEI≌Rt△GEH,

∴EF=EG;

(3)解:如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为M、N,

则∠MEN=90°,

∴EM∥AB,EN∥AD.

∴△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB,

,即=

∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°,

∴∠GEM=∠FEN,

∵∠GME=∠FNE=90°,

∴△GME∽△FNE,

点评:此题考查了正方形,矩形的性质,以及全等三角形与相似三角形的判定与性质.此题综合性较强,注意数形结合思想的应用.

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