20．(2011广东茂名，24，8分)如图，⊙P与轴相切于坐标原点O(0，0)，与轴相交于点A(5，0)，过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．

　　 (1)已知AC＝3，求点B的坐标；　　　　　　　　 (4分)

(2)若AC＝, D是OB的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为，函数的图象经过点，求的值(用含的代数式表示)．　　　　　　　　 (4分)

[答案]解：(1)解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，

在Rt△AOC中，

在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO＝∠OAB

　∴Rt△AOC∽Rt△ABO，·

　∴，即，

　∴ ，　 ∴

　解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO＝90°

在Rt△AOC中，AO＝5，AC＝3，∴OC＝4，

过C作CE⊥OA于点E，则：，

即：，∴，

∴　 ∴，

设经过A、C两点的直线解析式为：．

把点A(5，0)、代入上式得：

　，　　 解得：，

　∴ ，　 ∴点　 ．

(2)点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：

连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点，

∴，

∴∠3＝∠4，又∵OP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，

∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，

∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上；

由上可知，经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点，圆心，

由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB＝，在Rt△ABO中，

，OD＝，

∴，点在函数的图象上，

∴，　　　 ∴．

19. (2011湖北黄冈，22，8分)在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．

⑴求证△ABD为等腰三角形．

⑵求证AC•AF=DF•FE

[答案]⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形．

⑵∵∠DBA=∠DAB

∴弧AD=弧BD

又∵BC=AF

∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA

∴弧CD=弧DF

∴CD=DF

再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知

∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE

∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE②　 由①②得△DCA∽△FAE

∴AC：FE=CD：AF

∴AC•AF= CD •FE

而CD=DF，

∴AC•AF=DF•FE

18. (2011上海，21，10分)如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．

(1)求线段OD的长；

(2)若，求弦MN的长．

[答案](1)∵CD∥AB，

　　 ∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D．

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA．

∴∠C=∠D．

∴OC=OD．

∵OA=3，AC=2，

∴OC=5．

∴OD=5．

(2)过点O作OE⊥CD，E为垂足，连接OM．

在Rt△OCE中，OC=5，，设OE=x，则CE=2x．由勾股定理得，解得x₁=，x₂=(舍去)．∴OE=．

在Rt△OME中，OM=OA=3，ME===2。∴MN=2ME=4．

17. (2011江西南昌，21，8分)如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B，C两点除外)。

⑴求∠BAC的度数；

⑵求△ABC面积的最大值.

(参考数据：sin60°=，cos30°=，tan30°=.)

[答案](1)过点O作OD⊥BC于点D, 连接OA.

因为BC=，所以CD==.

又OC=2，所以=，即=，

所以∠DOC=60°.

又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.

(2)因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点A是的中点时，△ABC面积的最大值.

因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，

在Rt△ADC中，AC=，DC=,

所以AD===3.

所以△ABC面积的最大值为×3×=3.

16. (2011四川宜宾,23，10分)已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧 ⌒ AD上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．

(1)求证：AC⊥BH；

(2)若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．

[答案]证明：⑴连接AD

　　　 ∵∠DAC=∠DEC　 ∠EBC=∠DEC

∴∠DAC=∠EBC

又∵AC是⊙O的直径

∴∠ADC=90°

∴∠DCA+∠DAC=90°

∴∠EBC+∠DCA=90°

∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°

∴AC⊥BH

⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°

∴∠BAD=45°

∴BD=AD

∵BD=8

∴AD=8

又∵∠ADC=90°　 AC=10

∴由勾股定理，得.

∴BC=BD+DC=8+6=14

又∵∠BGC=∠ADC=90°　 ∠BCG=∠ACD

∴△BCG∽△ACD

∴

∴　 ∴

连接AE，∵AC是直径　 ∴∠AEC=90°

又∵EG⊥AC

∴△CEG∽△CAE　　 ∴　 ∴

∴.

15. (2011四川成都，27,10分)已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙0，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．

(1)求证：AE=CK；

　　 (2)如果AB=，AD= (为大于零的常数)，求BK的长；

(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．

[答案]

解：(1)∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB，

∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK.

(2)在Rt△ABC中，AB=，AD=BC=，∴==，

∵S_△ABC=AB×BC=AC×BK，∴BK===.

(3)连线OG，∵AC⊥DG，AC是⊙O的直接，DE=6，∴DE=EG=6，又∵EF=FG，∴EF=3；∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK，

在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF是△ABK的中位线，∴AF=BF，AE=EK=KC；在Rt△OEG中，设OG=，则OE=，EG=6，，∴，∴.

在Rt△ADF≌Rt△BHF中，AF=BF，

∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，

∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6.

14. (2011江苏泰州，26，10分)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．

(1)点N是线段BC的中点吗？为什么？

(2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．

[答案]解：(1)N是BC的中点。原因：∵AD与小圆相切于点M，

∴OM⊥AD，又AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圆O中，由垂径定理可得N是BC的中点．

(2)连接OB，设小圆半径为r，则有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,

在Rt△OBN中，由勾股定理得OB²=BN²+ON² ，即：(r+6)²=(r+5)²+5² ，解得r=7cm.

∴小圆的半径为7cm.

13. (2011江苏苏州，27,8分)已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点(不与点A、B重合)，连接PA、PB、PC、PD.

(1)如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；

　　　　　　 当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；

(2)如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O)，把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S₁、S₂、S₃.设P点坐标为(a，b)，试求2S₁S₃-S₂²的最大值，并求出此时a、b的值.

[答案]解：(1)2；2或.

(2)如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，延长FP交BC于点G，则PG⊥BC.

∵P点坐标为(a，b)，∴PE=b，PF=a，PG=4-a.

在△PAD、△PAB及△PBC中，

S₁=2a，S₂=2b，S₃=8-2a，

∵AB是直径，∴∠APB=90°.

∴PE²=AE·BE，即b²=a(4-a).

∴2S₁S₃-S₂²=4a(8-2a)-4b²=-4a²+16a=-4(a-2)²+16.

∴当a=2时，b=2，2S₁S₃-S₂²有最大值16.

12. (2011江苏苏州，26,8分)如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点(不与点A、B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.

(1)弦长AB=________(结果保留根号)；

(2)当∠D=20°时，求∠BOD的度数；

(3)当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.

[答案]解：(1)2.

(2)解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，

∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D.

∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.

又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，

∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，

∴∠BOD=2∠A=100°.

解法二：如图，连接OA.

∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.

又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，

∴∠BOD=2∠DAB=100°.

(3)∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D.

∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°.

此时，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°.

∴△DAC∽△BOC.

∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=.

11. (2011湖南常德，25，10分)已知 △ABC，分别以AC和BC为直径作半圆、P是AB的中点.

(1)如图8，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分别取点E、F，使则有结论① ②四边形是菱形.请给出结论②的证明；

(2)如图9，若(1)中△ABC是任意三角形，其它条件不变，则(1)中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；

(3)如图10，若PC是的切线，求证：

[答案]

(1)　　　 证明：∵BC是⊙O2直径，则O2是BC的中点

又P是AB的中点.

∴P O2是△ABC的中位线

∴P O2 =AC

又AC是⊙O1直径

∴P O2= O1C=AC

同理P O1= O2C =BC

∵AC =BC

∴P O2= O1C=P O1= O2C

∴四边形是菱形

(2)　　　 结论①成立，结论②不成立

　　　　　 证明：在(1)中已证PO2=AC，又O1E=AC

　　　　　　　　　　　 ∴PO2=O1E

　　　　　　　　　　　 同理可得PO1=O2F

∵PO2是△ABC的中位线

∴PO2∥AC

∴∠PO2B=∠ACB

同理∠P O1A=∠ACB

∴∠PO2B=∠P O1A

∵∠AO1E =∠BO2F

∴∠P O1A+∠AO1E =∠PO2B+∠BO2F

即∠P O1E =∠F O2 P

∴

(3)　　　 证明：延长AC交⊙O2于点D，连接BD.

　　　　　　　 ∵BC是⊙O2的直径，则∠D=90°，

　　　　　　　 又PC是的切线，则∠ACP=90°，

　　　　　　　 ∴∠ACP=∠D

　　　　　　　 又∠PAC=∠BAD，

∴△APC∽△BAD

又P是AB的中点

∴

∴AC=CD

∴在Rt△BCD中，

在Rt△ABD中，

∴

∴