3.实数与向量的积：

(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.

(2)运算律：λ(μa)=(λμ)a， (λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb.

特别提醒：

1)　　　 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。

2)　　　 重要定理：

向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa(a≠0).

★ 重 难 点 突 破 ★

2.向量的减法：

(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

已知向量a、b，求作向量

　∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a

　 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，

　　 作= a,　 = b, 则= a - b

　　 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

注意：

1)　　　 表示a - b强调：差向量“箭头”指向被减数

2)　　　 用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)

　显然，此法作图较繁，但最后作图可统一

a∥b∥c　　　　　 a - b = a + (-b)　　　 a - b

(2)法则：____三角形法则_______

1.向量的加法：

(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即　 a+b

特殊情况：

　对于零向量与任一向量a，有 a a 　a

(2)法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______

(3)运算律：____ a+b=b+a；_______，____(a+b)+c=a+(b+c)._______

2．向量的线性运算

1．平面向量的有关概念：

(1)向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.

(2)表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示.

特别提醒：

1)　　　 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||.

2)　　　 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.

3)　　　 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.

4)　　　 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.

5)　　　 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

10．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且 =+t．

(1)　　　 当t变化时，点P是否在一条定直线上运动？

(2)　　　 当t取何值时，点P在y轴上？

(3)　　　 OABP能否成为平行四边形？若能求出相应的t值；若不能，请说明理由．

解：(1)由= +t可得 = t，∥，又、都过A点，故A、P、B三点在同一条直线上，而A、B为定点，所以P点恒在直线AB上运动.(2)=(1+3t，2+3t)，若P在y轴上，则1+3t=0，t=－.(3)A、B、P三点在同一条直线上，OABP不可能为平行四边形，若用 = 可列方程组，但方程组无解.

9．已知,当实数取何值时,+2与2-4平行？

[解析]方法一: ∵　 2-4,∴ 存在唯一实数使+2=2-4)

将、的坐标代入上式得(-6，2+4)=14，-4)

得-6=14且2+4= -4，解得= -1

方法二：同法一有+2=(2-4),即(-2+(2+4=0

∵与不共线，∴ 　　∴= -1

8．(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知向量，若不超过5，则的取值范围是　　 　　　　 ．

答案：　 [-6，2]

解析： =解得的取值范围是[-6，2]

7．(广东省深圳外国语学校2009届高三统测(数学理))

已知向量，，则的最大值为　　　　　　 ． 　

　答案：2　 解析：＝.

6．(2009年广东省广州市高三年级调研测试数 学(理 科))

如图，在△中，已知，，，

于，为的中点，若，

则　　　　　　 .

答案： 　解析：，，

所以BH=1，为的中点，所以

综合拔高训练