36. (20011江苏镇江,23,7分)已知:如图,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,

求证:四边形BCDE是菱形.

答案:证明：∵AD⊥BD，

∴∠ADB=90°。

又E为AB中点，∴DE=AB,BE=AB, ∴DE=BE

∴∠ DBE =∠EDB

又AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB

∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC

∴BC∥DE.

∵EB∥CD

∴四边形BCDE是平行四边形

∵BC=CD

∴四边形BCDE是菱形。

35. (2011江苏盐城，27，12分)

情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC相等的线段是　 ▲　 ，∠CAC′=　 ▲　 °．

问题探究

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

[答案]情境观察

AD(或A′D)，90　

问题探究

结论：EP=FQ.　

证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.

∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.

∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.

同理AG=FQ.　 ∴EP=FQ.

拓展延伸

结论： HE=HF.　

理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.

∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP.

∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = .

同理△ACG∽△FAQ，∴ = .

∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ = . ∴EP=FQ.

∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.

34. (2011湖南永州，25，10分)探究问题：

⑴方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．

感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，点G，B，F在同一条直线上．

∵∠EAF=45°　 ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2，　 ∴∠1+∠3=45°．

即∠GAF=∠_________．

又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌_______．

∴_________=EF，故DE+BF=EF．

⑵方法迁移：

如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

⑶问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想(不必说明理由)．

[答案]⑴EAF、△EAF、GF．

⑵DE+BF=EF，理由如下：

假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，点G，B，F在同一条直线上．

∵∠EAF=　 ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=

∵∠1=∠2，　 ∴∠1+∠3=．

即∠GAF=∠EAF

又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌△EAF．

∴GF=EF，

又∵GF=BG+BF=DE+BF　　 ∴DE+BF=EF．

⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．

33. (2011湖北襄阳，25，10分)

如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.

(1)求证：∠ADP＝∠EPB；

(2)求∠CBE的度数；

(3)当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由.

[答案]

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形

∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP+∠APD＝90°················ 1分

∵∠DPE＝90°　 ∴∠APD+∠EPB＝90°

∴∠ADP＝∠EPB.········································································································ 2分

(2)过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90°·· 3分

又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP

∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG················································· 4分

∴∠CBE＝∠EBG＝45°.························································································· 5分

(3)方法一：

当时，△PFE∽△BFP.·············································································· 6分

∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF······························ 7分

设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝，∴BF＝BP····················· 8分

∴，

∴··········································································································· 9分

又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP·········································· 10分

方法二：

假设△ADP∽△BFP，则.·································································· 6分

∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF··························· 7分

∴，··············································································································· 8分

∴，··············································································································· 9分

∴PB＝AP，　　 ∴当时，△PFE∽△BFP.　　 10分

32. (2011广东肇庆，22，8分)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为，求AC的长．

[答案]解：(1)证明：∵DE∥OC ，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形　　 ∴ AO＝OC＝BO＝OD

∴四边形OCED是菱形．

(2)∵∠ACB＝30° ∴∠DCO ＝ 90°- 30°＝ 60°

又∵OD＝ OC，　 ∴△OCD是等边三角形

过D作DF⊥OC于F，则CF＝OC，设CF＝，则OC＝ 2，AC＝4

在Rt△DFC中，tan 60°＝　　 ∴DF＝FC× tan 60°

由已知菱形OCED的面积为得OC× DF＝，即 ，

　解得　 ＝2，　 ∴ AC＝4´2＝8

31. (2011广东肇庆，20，7分)如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．

(1)求证：△BEC≌△DEC；

(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140°，求∠AFE的度数．

[答案]解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴CD＝CB，　

∵AC是正方形的对角线　 ∴∠DCA＝∠BCA　　

又 CE ＝ CE　　　　　　 ∴△BEC≌△DEC　

(2)∵∠DEB ＝ 140°

由△BEC≌△DEC可得∠DEC ＝∠BEC＝140°¸2＝70°，

∴∠AEF ＝∠BEC＝70°，

又∵AC是正方形的对角线， ∠DAB＝90° ∴∠DAC ＝∠BAC＝90°¸2＝45°，

在△AEF中，∠AFE＝180°- 70°- 45°＝65°　　

30. (2011贵州贵阳，18，10分)

如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F．

(1)求证：△ADE≌△BCE；(5分)

(2)求∠AFB的度数．(5分)

(第18题图)

[答案]解：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC．

∵△CDE是等边三角形，

∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE．　　　　　　　　　　 　　　　　　　

∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°，

∴∠ADE=∠BCE=30°．

∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE，

∴△ADE≌△BCE．

(2)∵△ADE≌△BCE，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠ABE．

∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE，

∴∠DAE=∠AFB．

∵AD=CD=DE，

∴∠DAE=∠DEA．

∵∠ADE=30°，

∴∠DAE=75°，

∴∠AFB=75°．

29. (2011湖南衡阳，26，10分)如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m＞4)，点P是AB边上的任意一点(不与A、B重合)，连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．

(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；

(2)连结AC，若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示)

(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．

[解](1) 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合(如下图)，

∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD+∠BPC=90°，

又∠ADP+∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP，

又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴，

∴，∴或8，∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8．

(2) 如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴，即，∴．

∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，，即，∴．

(3)由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形(如图)，

∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP，

∴PB=DA=4，AP=BQ=，

∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：S_{四边形PQCD}= S_矩形ABCD－S_△DAP－S_△QBP=

==16(4＜≤8)．

20．28. (2011四川乐山20，10分)如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF

[答案]

证明：∵四边形ABCD为矩形

　　　 ∴OA=OB=OC=OD　　 AB=CD

　　　 ∵AE=DF

　　　 ∴OE=OF

　　　 在ΔBOE与ΔCOF中，

　　 ∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS)

　　 ∴BE=CF

27. (2011上海，23，12分)如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CF、AC．

(1)求证：四边形ABFC是平行四边形；

(2)如果DE²＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．

[答案](1)连接BD．

∵DE⊥BC，EF=DE，

∴BD=BF，CD=CF．

∵在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，

∴四边形ABCD是等腰梯形．

∴BD=AC．

∴AC=BF，AB=CF．

∴四边形ABFC是平行四边形．

(2)∵DE² =BE·CE，EF=DE，

∴EF² =BE·CE．

∴．

又∵DE⊥BC，

∴∠CEF=∠FEB=90°．

∴△CEF∽△FEB．

∴∠CFE=∠FBE．

∵∠FBE+∠BFE=90°，

∴∠CFE +∠BFE=90°．

即∠BFC=90°．

由(1)知四边形ABFC是平行四边形，

∴证四边形ABFC是矩形．