10．(2011湖北襄阳，26，13分)

如图10，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是⊙O′的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD＝，抛物线过A，B，C三点.

(1)求证：∠CAD＝∠CAB；

(2)①求抛物线的解析式；

②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；

(3)在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由.

[答案]

(1)证明：连接O′C.

∵CD是⊙O′的切线，∴O′C⊥CD··············· 1分

∵AD⊥CD，∴O′C∥AD，∴∠O′CA＝∠CAD··········· 2分

∵O′C＝O′A，∴∠O′CA＝∠CAB

∴∠CAD＝∠CAB.······················· 3分

(2)∵AB是⊙O′的直径，∴∠ACB＝90°

∵OC⊥AB，∴∠CAB＝∠OCB，∴△CAO∽△BCO，∴

即······················ 4分

∵tan∠CAO＝tan∠CAD＝，∴OA＝2OC

又∵AB＝10，∴　　　 ∵OC＞0

∴OC＝4，OA＝8，OB＝2.

∴A(－8，0)，B(2，0)，C(0，4)············· 5分

∵抛物线过A，B，C三点.∴c＝4

由题意得，解之得，

∴.···················· 7分

(3)设直线DC交x轴于点F，易证△AOC≌△ADC，∴AD＝AO＝8.

∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴

∴8(BF+5)＝5(BF+10)，∴，∴.······ 8分

设直线DC的解析式为，则，即

∴.······················ 9分

由得

顶点E的坐标为················· 10分

将代入直线DC的解析式中，

右边左边.

∴抛物线的顶点E在直线CD上.··············· 11分

(3)存在.，··············· 13分

9. (2011湖南衡阳，27，10分)已知抛物线．

(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

[解] (1)====，∵不管m为何实数，总有≥0，∴=＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．

　(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x=3，∴，

抛物线的解析式为=，顶点C坐标为(3，－2)，

解方程组，解得或，所以A的坐标为(1，0)、B的坐标为(7，6)，∵时y=x－1=3－1=2，∴D的坐标为(3，2)，设抛物线的对称轴与轴的交点为E，则E的坐标为(3，0)，所以AE=BE=3，DE=CE=2，

①　　 假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形．

②　　 (Ⅰ)设直线CD向右平移个单位(＞0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x－1交于点M(3，2)，又∵D的坐标为(3，2)，C坐标为(3，－2)，∴D通过向下平移4个单位得到C．

∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．

(ⅰ)当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，

∴N坐标为(3，)，

又N在抛物线上，∴，

解得(不合题意，舍去)，，

(ⅱ)当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，

∴N坐标为(3，)，

又N在抛物线上，∴，

解得(不合题意，舍去)，，

(Ⅱ) 设直线CD向左平移个单位(＞0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x－1交于点M(3，2)，又∵D的坐标为(3，2)，C坐标为(3，－2)，∴D通过向下平移4个单位得到C．

∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．

(ⅰ)当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，

∴N坐标为(3，)，

又N在抛物线上，∴，

解得(不合题意，舍去)，(不合题意，舍去)，

(ⅱ)当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，

∴N坐标为(3，)，

又N在抛物线上，∴，

解得，(不合题意，舍去)，

综上所述，直线CD向右平移2或()个单位或向左平移()个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

8. (2011湖北黄冈，24，14分)如图所示，过点F(0，1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x₁，y₁)和N(x₂，y₂)两点(其中x₁＜0，x₂＜0)．

⑴求b的值．

⑵求x₁•x₂的值

⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M₁、N₁，判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

[答案]解：⑴b=1

⑵显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=－4

⑶△M₁FN₁是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由题知M₁的横坐标为x₁，N₁的横坐标为x₂，设M₁N₁交y轴于F₁，则F₁M₁•F₁N₁=－x₁•x₂=4，而FF1=2，所以F₁M₁•F₁N₁=F₁F²，另有∠M₁F₁F=∠FF₁N₁=90°，易证Rt△M₁FF₁∽Rt△N₁FF₁，得∠M₁FF₁=∠FN₁F₁，故∠M₁FN₁=∠M₁FF₁+∠F₁FN₁=∠FN₁F₁+∠F₁FN₁=90°，所以△M₁FN₁是直角三角形．

⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：

直线y=－1即为直线M₁N_1．

如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN₁=， NF=，得NN₁=NF

同理MM₁=MF．

那么MN=MM₁+NN₁，作梯形MM₁N₁N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=(MM₁+NN₁)=MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．

7. (2011四川乐山26，13分)已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).

　(1)求抛物线的解析式;

　(2)如图(15.1),设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值

(3)在(2)中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图(15.2)所示构造等腰直角三角形PRQ.

①当△PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围；

②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式，并求S的最大值。

[答案]

解：⑴.设以A(1,5)为顶点的二次函数解析式为

∵的图像经过了点B(5,5)

∴　　 解得

∴

即：

⑵.

如图，作点A关于y轴对称点,与y轴交与点D,作点B关于x轴对称点,与x轴交与点C,连接AD,AC,CB,BA.四边形ABCD的周长最小。

∵A(1,5),B(5,1)

∴

∴

⑶.①如图

∵

∴直线AB的解析式为

∴直线与直线的交点

∵，点Q为OP的中点

∴

∵△PBR与直线CD有公共点，

∴，即

6. (2011上海，24，12分)已知平面直角坐标系xOy(如图)，一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO=MA．二次函数y=x²+bx+c的图像经过点A、M．

(1)求线段AM的长；

(2)求这个二次函数的解析式；

(3)如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

[答案](1)一次函数，当x=0时，y=3．所以点A的坐标为(0，3)．

正比例函数，当y =时，x=1．所以点M的坐标为(1，)．

如下图，AM=．

(2)将点A(0，3)、M(1，)代入y=x²+bx+c中，得

解得

即这个二次函数的解析式为．

(3)

设B(0，m)(m<3)，C(n，)，D(n，)．则

=，==，=．

因为四边形ABCD是菱形，所以==．

所以

解得(舍去)

将n=2代入，得=2．所以点C的坐标为(2，2)．

5. (2011山东临沂，26，13分)如图，已知抛物线经过A(－2，0)，B(－3，3)及原点O，顶点为C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

(3)P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵抛物线过原点O，

　　　　　　 ∴可设抛物线的解析式为y＝ax²+bx，

　　　　　　 将A(－2，0)，B(－3，3)代入，得

　　　　　　　 解得

　 ∴此抛物线的解析式为y＝x²+2x．……………………(3分)

(2)如图，①当AO为边时，

　　 ∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，

　　 ∴DE∥AO，且DE＝AO＝2，…………………………………………( 4分)

　　 点E在对称轴x＝－1上，

　　 ∴点D的横坐标为1或－3，…………………………………………( 5分)

　　 即符合条件的点D有两个，分别记为：D₁，D₂，

　　 而当x＝1时，y＝3；当x＝－3时，y＝3，

　　 ∴D₁(1，3)，D₂(－3，3)．…………………………………………(7分)

　　　 ②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，

　　　 又点E在对称轴上，

　　　 且线段AO的中点横坐标为－1，

　　　 由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点C(－1，,1)，

　　　 综上所述，符合条件的点D共有三个，分别为D₁(1，3)，D₂(－3，3)，C(－1，,1)．………………………………………………………(8分)

　　 ③存在．…………………………………………………………………(9分)

4. (2011江苏淮安，28，12分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.

(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是　　　　　　 ；当t=3时，正方形EFGH的边长是　　　　　　 ；

(2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；

(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

[答案](1)2；6；

(2) 当0＜t≤时(如图)，求S与t的函数关系式是：S==(2t)²=4t²；

　 当＜t≤时(如图)，求S与t的函数关系式是：S=-S_△HMN=4t²-××[2t-(2-t)] ² =t²+t-；

当＜t≤2时(如图)，求S与t的函数关系式是：S= S_△ARF -S_△AQE =×(2+t) ² -×(2-t) ²=3t.

(3)由(2)知：若0＜t≤，则当t=时S最大，其最大值S=；

若＜t≤，则当t=时S最大，其最大值S=；

若＜t≤2，则当t=2时S最大，其最大值S=6.

综上所述，当t=2时S最大，最大面积是6.

3. (2011湖南怀化，24，10分)在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B，C重合)，过F点的反比例函数的图像与AC边交于点E.

(1)　　　 求证：AE×AO=BF×BO；

(2)　　　 若点E的坐标为(2，4)，求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；

(3)　　　 是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF长；若不存在，请说明理由.

[答案]

(1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图像上，且在第一象限，所以AE×AO=k，BF×BO=k，从而AE×AO=BF×BO.

(2)将点E的坐标为(2，4)代入反比例函数得k=8，

所以反比例函数的解析式为.

∵OB=6，∴当x=6时，y=，点F的坐标为(6，).

设过点O、E、F三点的二次函数表达式为，将点O(0，0)，E(2、4)，F(6，)三点的坐标代入表达式得：

　　　　　 解得

∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为：.

(1)　 如图11，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边于点C′.过点E作EH⊥OB于点H.

设CE=n，CF=m，则AE=6-n，BF=4-m

由(1)得AE×AO=BF×BO　 ∴(6-n)×4=(4-m)×6　 ,解得n=1.5m.

由折叠可知，CF=C′F=m，CE=C′E=1.5m，∠EC′F=∠C=90°

在Rt△EHC′中，∠EC′H+∠C′EH=90°，

又∵∠EC′H+∠EC′F+FC′B=180°，∠EC′F=90°　

∴∠C′EH=FC′B　　

∵∠EHC′=C′BF=90°

∴△EC′H∽△C′FB，∴

∴，

∵由四边形AEHO为矩形可得EH=AO=4　 ∴C′B=.

在Rt△BC′F中，由勾股定理得，C′F²=BF²+C′B²，即m²=(4-m)²+

解得：m=

BF=4-=,

在Rt△BOF中，由勾股定理得，OF²=BF²+OB²，即OF²=6²+=.

∴OF=

∴存在这样的点F，OF=,使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上.

2. (2011广东省，22，9分)如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).

(1)求直线AB的函数关系式；

(2)动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

(3)设(2)的条件下(不考虑点P与点O，点G重合的情况)，连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.

[解](1)把x=0代入，得

把x=3代入，得，

　 ∴A、B两点的坐标分别(0，1)、(3，)

设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得

，解得

所以，

(2)把x=t分别代入到和

分别得到点M、N的纵坐标为和

∴MN=-()=

即

∵点P在线段OC上移动，

∴0≤t≤3.

(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN

∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形

由，得

即当时，四边形BCMN为平行四边形

当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=,

此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；

当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=,

此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；

所以，当时，平行四边形BCMN为菱形．

1. (2011重庆綦江，26，12分)在如图的直角坐标系中，已知点A(1，0)；B(0，－2)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．

⑴ 求点C的坐标；

⑵ 若抛物线经过点C．

　　 ①求抛物线的解析式；

　　 ②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

[答案]：解：(1)过点C作CD⊥x轴，垂足为D，

在△ACD和△BAO中，由已知有∠CAD+∠BAO＝90°,而∠ABO+∠BAO＝90°∴∠CAD＝∠ABO，又∵∠CAD＝∠AOB＝90°,且由已知有CA＝AB，∴△ACD≌△BAO，∴CD＝OA＝1,AD＝BO＝2，∴点C的坐标为(3,－1)

(2)①∵抛物线经过点C(3,－1)，∴,解得

∴抛物线的解析式为

解法一：② i) 当A为直角顶点时 ，延长CA至点,使,则△是以AB为直角边的等腰直角三角形,

如果点在抛物线上,则满足条件,过点作⊥轴, ∵＝,∠＝∠，∠＝∠＝90°,　 ∴△≌△，∴AE＝AD＝2, ＝CD＝1,

∴可求得的坐标为(－1,1)，经检验点在抛物线上,因此存在点满足条件；

ii) 当B点为直角顶点时，

过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△

∴ BF＝OA＝1，可得点的坐标为(－2，－1)，经检验点在抛物线上,因此存在点满足条件．同理可得点的坐标为(2，－3)，经检验点不在抛物线上．

综上：抛物线上存在点(－1,1)，(－2，－1)两点，使得△和△

是以AB为直角边的等腰直角三角形．

解法二：(2)②(如果有用下面解法的考生可以给满分)

i) 当点A为直角顶点时,易求出直线AC的解析式为

由解之可得(－1,1)　 (已知点C除外)作⊥x轴于E,则AE＝2, ＝1, 由勾股定理有又∵AB＝,∴，∴△是以AB为直角边的等腰三角形；

ii)当B点为直角顶点时，过B作直线L∥AC交抛物线于点和点，易求出直线L的解析式为，由解得或

∴(－2,－1)，(4，－4)作⊥y轴于F，同理可求得

∴△是以AB为直角边的等腰三角形作⊥y轴于H，可求得，∴Rt△不是等腰直角三角形，∴点不满足条件．

综上：抛物线上存在点(－1,1)，(－2，－1)两点，使得△和△ 是以角AB为直边的等腰直角三角形．