14. (2011湖北襄阳，21，6分)

如图6，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE. ①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①.

(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)　　　　　　　　　　　　　 ；

(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题，然后证明).

[答案](1)①②③；①③②；②③①.················································· 3分

(2)(略)　 6分

13. (2011湖北黄冈，18，7分)如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

[答案]连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5

12. (2011广东省，21，9分)如图(1)，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图(2).

(1)问：始终与△AGC相似的三角形有　　　　 及　　　　 ；

(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由)；

(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

[解](1)△HGA及△HAB；

　 (2)由(1)可知△AGC∽△HAB

∴，即，

所以，

(3)当CG＜时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH

∵AG＜AC，∴AG＜GH

又AH＞AG，AH＞GH

此时，△AGH不可能是等腰三角形；

当CG=时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；

此时，GC=，即x=

当CG＞时，由(1)可知△AGC∽△HGA

所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH

若AG=AH，则AC=CG，此时x=9

综上，当x=9或时，△AGH是等腰三角形．

11. (2011江苏扬州，23,10分)已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。

[答案](1)证明：∵OB=OC　 ∴∠OBC=∠OCB

∵BD、CE是两条高　　 ∴∠BDC=∠CEB=90°

又∵BC=CB　　　 ∴△BDC≌△CEB(AAS)

∴∠DBC=∠ECB　 ∴AB=AC　

∴△ABC是等腰三角形。

　　　 (2)点O是在∠BAC的角平分线上。连结AO.　　

∵ △BDC≌△CEB　 ∴DC=EB,

∵OB=OC　　 ∴ OD=OE

又∵∠BDC=∠CEB=90°　 AO=AO　

∴△ADO≌△AEO(HL)

∴∠DAO=∠EAO　　

∴点O是在∠BAC的角平分线上。

10．(2011重庆綦江，24，10分)如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE.

　　 (1) 求证：△ACD≌△BCE；

　　 (2) 延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP＝CQ＝5, 若BC＝8时，求PQ的长.

[答案]：(1)证明ABC和△CDE均为等边三角形，

　　　　 ∴AC＝BC ,　 CD＝CE　

　　　　 且∠ACB＝∠DCE＝60°

　　　　 ∵∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE＝60°

　　　　 ∴∠ACD＝∠BCE

　　　　 ∴△ACD≌△BCE

(2)解：作CH⊥BQ交BQ于H,　 则PQ＝2HQ

　　　　 在Rt△BHC中 ，由已知和(1)得∠CBH＝∠CAO＝30°，∴ CH＝4　

在Rt△CHQ中，HQ＝

　　　　　　 ∴PQ＝2HQ＝6　

9. (2011广东株洲，20，6分)如图， △ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．

(1)求∠ECD的度数；

(2)若CE=5，求BC长．

[答案](1)解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∠ECD=∠A=36°.

解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°，　

又∵DE =DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD=∠A=36°.　

(2)解法一：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，

∵∠ECD=36°，

∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°，

∠BEC=72°=∠B，

∴ BC=EC=5.

解法二：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB=72°，

∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，

∴∠BEC=∠B，

∴BC=EC=5.　　

8. (2011浙江义乌，23，10分)如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△A₁B₁P,连结AA₁，射线AA₁分别交射线PB、射线B₁B于点E、F.

　　　 (1) 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在　 ▲　 关系(填“相似”或“全等”)，并说明理由；

(2)如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

(3)如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A₁BB₁的面

积为S，求S关于x的函数关系

[答案](1) 相似 　

由题意得：∠APA₁=∠BPB₁=α　 AP= A₁P　 BP=B₁P

　　　　　　　 则　 ∠PAA₁ =∠PBB₁ =

　　　　　　　　 ∵∠PBB₁ =∠EBF　　　　 ∴∠PAE=∠EBF

　　 又∵∠BEF=∠AEP

∴△BEF ∽△AEP

(2)存在，理由如下：

易得：△BEF ∽△AEP

若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可

∴∠BAE=∠ABE

　　　　 ∵∠BAC=60°　　　 ∴∠BAE=

∵∠ABE=β　 ∠BAE=∠ABE　

∴ 即α=2β+60°　

(3)连结BD，交A₁B₁于点G，

过点A₁作A₁H⊥AC于点H.

∵∠B₁ A₁P=∠A₁PA=60° ∴A₁B₁∥AC

　　　　　　 由题意得：AP= A₁ P　 ∠A=60°

　　　　　　 ∴△PAA₁是等边三角形

∴A₁H=在Rt△ABD中，BD=

　　　　　　 ∴BG=

∴ (0≤x＜2)

7. (2011浙江台州，23,12分)如图1，过△ABC的顶点A分别做对边BC上的高AD和中线AE，点D是垂足，点E是BC中点，规定。特别的，当点D重合时，规定。另外。对、作类似的规定。

(1)如图2，已知在Rt△ABC中，∠A=30º，求、；

(2)在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点(格点即每个小正方形的顶点)上，且，面积也为2；

(3)判断下列三个命题的真假。(真命题打√，假命题打×)

① 若△ABC中，，则△ABC为锐角三角形；(　 )

② 若△ABC中，，则△ABC为直角三角形；(　 )

③ 若△ABC中，，则△ABC为钝角三角形；(　 )

[答案]解:(1)如图，作CD⊥AB，垂足为D，作中线CE、AF。

　　　　　　　 ∴=1

　　　　　　　 ∵ Rt△ABC中，∠CAB=30º，　　 ∴ AE=CE=BE ,∠CEB=60º，

　　　　　　　 ∴△CEB是正三角形，

∵ CD⊥AB　 　　　　　　∴ AE=2DE

　　　　　　　 ∴=；　　　　 ∴=1，=；

　　　 (2)如图所示：

　　　 (3)①×；②√；③√。

6. (2011浙江绍兴，23，12分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

(1)特殊情况，探索结论

当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：

　　　 (填“>”,“<”或“=”).

(2)特例启发，解答题目

解：题目中，与的大小关系是：　 (填“>”,“<”或“=”).理由如下：如图2，过点作，交于点.

(请你完成以下解答过程)

(3)拓展结论，设计新题

在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且.若的边长为1，，求的长(请你直接写出结果).

[答案](1)= .

(2)=.

方法一：如图，等边三角形中，

是等边三角形，

又

.

方法二：在等边三角形中，

而由是正三角形可得

(3)1或3.

5. (2011浙江衢州，23,10分)是一张等腰直角三角形纸板，.

要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.

图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则　　　 　；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，　　　　 　.

求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.

[答案](1)解法1：如图甲，由题意得.如图乙，设，则由题意，得

又

甲种剪法所得的正方形的面积更大

说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为的中点，

解法2：如图甲，由题意得

如图乙，设

甲种剪法所得的正方形的面积更大

(2)

(3)

(3)解法1：探索规律可知：‘

剩余三角形的面积和为：

解法2：由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为

第二次剪取后剩余三角形面积和为

第三次剪取后剩余三角形面积和为

…

第十次剪取后剩余三角形面积和为