⒈　设全集为R,集合，，则有

    A．     　　             B．    

    C. 　D．

【标准答案】A

解答：

2．若是正数的充要条件是（   ）

A．                    B．               C．        D．

【标准答案】D

解答：

3．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于（   ）

A．40                    B．42                 C．43               D．45

【标准答案】B

 在等差数列中，已知得d=3，a₅=14，=3a₅=42.

4． 若A、B、C为三个集合，，则一定有（   ）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

【标准答案】A

解答： 因为，由题意得所以选A

5．定义运算，则函数的值域为（   ）

A．          B．             C．         D．

【标准答案】C

 解答：在同一坐标系中作出= 图，知选C.

6．已知函数的图象过点，则的反函数的图象一定过点（   ）

A             B               C          D

【标准答案】A.

解答：依题意知函数的图象过点,由得则函数

的图象过点,故函数的反函数图象过点(1,).

7．函数+的图象相邻两条对称轴间的距离是，则的一个值是（  ）

A．                    B．     　             C．　　　       D．

【标准答案】C

解答：由已知

8．、，、、是共起点的向量，、不共线，，则、、的终点共线的充分必要条件是（   ）

A．   　B．     C．   　D．

【标准答案】D．

解答：设、、的终点分别为A、B、C，而A、B、C三点共线的充要条件是存在非零常数，使得，即，于是有

9．定义在（，0）（0，）上的奇函数，在（0，）上为增函数，当x>0时，图像如图所示，则不等式的解集为（   ）

A．       C．

B．    D．

【标准答案】A

 解答：因为所以x?f（x），即或

由图知－3或0

10　已知 ，且非p是非q的充分条件，则a的取值范围为（  ）

  A.  -1<a<6     B.      C.     D.

【标准答案】 B

解法1

特殊值法验证，

取a=-1， ,，非p是非q的充分条件成立，排除A，C；

取a=7，, ，非p是非q的充分条件不成立，排除D，选B；

解法2 

集合观念认识充分条件化归子集关系构建不等式组求解，解不等式切入，

，选B；

解法3

用等价命题 构建不等式组求解， 非p是非q的充分条件等价命题为q是p的充分条件，集合观念认识充分条件化归子集关系构建不等式组求解，解不等式切入，，由q是p的充分条件知

11 计算复数(1－i)²－等于（ ）

A.0                    B.2              C. 4i                   D. －4i

【标准答案】

解法一：(1－i)²－=－2i－=－2i－

=－2i－2i=－4i.

解法二：(1－i)²－=－2i－=－2i－=－2i－2i=－4i.

故选D.

 ， 故，选B。

12　已知数列{a_n}的通项公式为a_n[1]＝(n∈N^*)，数列{b_n}满足b_n＝n?a_x'|_x＝n(其中a_x'|_x＝n表示函数y＝a_x在x＝n时的导数)，则(ni＝1b_i)＝(    )
    A、ln3  B、－ln3      C、－3ln3      D、3ln3

【标准答案】

解：a_x＝2×3^－x，故a_x'＝2×3^－xln3×(－1)＝－2×3^－xln3
即  b_n＝－
记  T_n＝ni＝1b_i＝(－2ln3)() ，       ①
∴ 3T_n＝(－2ln3)(1＋)  。       ②
②－①得：2T_n＝(－2ln3)(1＋)
可得：T_n＝－ln3[(1－]
于是(ni＝1b_i)＝T_n＝－ln3.

13　函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象不经过（       ）

A．第一象限                 B．第二象限         

 C．第三象限                 D．第四象限

【标准答案】

解析：由导函数的图象可知所以

函数图象的顶点

在第一象限，故函数

的图象不经过第二象限。选B。                         

14　设方程 的两个根为，则 （  ）

A          B        C       D

【标准答案】

由两图象交点的意义，交点的横坐标分别为 不妨设 ，利用方程根适合方程，注意绝对值的意义化为  

如何确定范围？

目标函数变形， ，选D.

15　函数f (x)=log₅(x²+1),  x∈[2, +∞的反函数是        （    ）

    A．g (x)=( x≥0)            B．g (x)=( x≥1)

    C．g (x)=( x≥0)            D．g (x)=( x≥1)

【标准答案】

解法一：令y=log₅(x²+1)，可得5^y= x²+1,

∴ x²= 5^y－1,  又∵x∈[2, +∞即x>0.

∴ x=.

∵ x≥2，∴x²+1≥5，y=log₅(x²+1)≥1.

∴函数f (x)=log₅(x²+1), x∈[2, +∞的反函数是g (x)=（ x≥1）。 故选D.

解法二：∵ x≥2，∴x²+1≥5，原函数y=log₅(x²+1)≥1.

由原函数和反函数中x， y的对应关系知反函数中的x≥1，排除A、 C，而B中 y=>2, 排除B. 故选D.

解法三：原函数f (x)=log₅(x²+1)经过点(2，1)，反函数y=g (x)经过点(1，2)，以 (1，2)点代入排除A、 B，又原函数中y≥1，从而反函数中x≥1，排除 C，故选D.

16　若函数y=log₂|ax－1|的图象的对称轴为x=2，则非零实数a的值是（       ）

A.－2         B.2         C.            D. －

【标准答案】

解析：∵y=log₂|ax－1|=log₂(|a||x－|)=log₂|x－|+ log₂|a|，

∴y=log₂|ax－1|的图象可由y=log₂|x|平移得到，而y=log₂|x|的图象的对称轴为x=0， y=log₂|ax－1|的图象的对称轴为x=，如图.

∴=2，得a=. 故选C.

17 已知函数的图象如图所示,那么 (        )

A.   

B                 

C.   

D.

【标准答案】

解析：，由函数图象的走向可知，单调性是先增后减再增，因此导函数的值应该是随由小到大，先正后负再为正，因此，从函数图象可以确定函数有两个极值点，易知方程有相异的两个实数根且负根的绝对值大，由根与系数的关系可判定，故选B.

说明：本题难度较大，综合性强，如何从图中得出极点及单调性的特点是解决本题的关键，同时又要运用二次函数的性质解题，对一元二次方程根与系数的关系也进行了考查.由单调性开口方向,由极值点得方程的根,由方程的根再判定字母的取值,从中也体现出对学生的思维品质有较高的要求

18　如图，在平面直角坐标系中，，映射将平面上的点对应到另一个平面直角坐标系上的点，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点的轨迹是（   ）

       A.                         　B．　              C．                                D．

【标准答案】A

19　某中学生为了能观看2008年奥运会，从2001年起，每年2月1日到银行将自己积攒的零用钱存入元定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回钱的总数（元）为                    （    ）

   A．    B．   C．   D．

【标准答案】D。

20. 已知向量=（1－，1），=（，1＋），且∥，则锐角等于   （    ）

       A．30⁰                     B．45⁰                     C．60⁰                     D．75⁰

【标准答案】

B  解析：依题意，∵ ∥， ∴（1－）(1＋)-=0,cos²=，cos=，锐角等于45⁰

21．已知是等差数列，，，则过点P (3 ，) ，Q（4 ，）的直线的斜率为             （    ）

       A．4                        B．                      C．－4                     D．－14

【标准答案】

A. 解析：依题意，∵是等差数列，，，∴，设公差为d，则d=4，又

22．直三棱柱ABC―A₁B₁C1的底面ABC为等腰直角三角形，斜边AB＝，侧棱AA₁=1,则该三棱柱的外接球的表面积为                                （    ）

       A．2                    B．3                    C．4                    D．5

【标准答案】B

解析：由于直三棱柱ABC―A₁B₁C1的底面ABC为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC―A₁B₁C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为，表面积为3.

23. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₇为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是    （   ）

      A．a₂ + a₁₅                 B． a₂?a₁₅ 

C．a₂ + a₉ +a₁₆              D． a₂?a₉?a₁₆

【标准答案】

解析：∵ =为一确定常数，

∴ + 为一确定常数，又+ =  + = 2，

∴+ 及为一确定常数，故选C。

说明：本题是一道基础题，若直接用通项公式和求和公式求解较复杂，解答中应用等差数列的性质+ =+ ，结论巧妙产生，过程简捷，运算简单。

24　(理科)记二项式（1+2x）ⁿ展开式的各项系数和为a_n，其二项式系数和为b_n，则等于（    ）  

    A．1              B．－1            C．0              D．不存在

【标准答案】  

解析：由题意得，，于是，。选B。

25. 已知P为圆O外一点（O为圆心）,线段PO交圆O于点A,

过点P作圆O的切线PB,切点为B,若劣弧AB等分△POB的面积,

且  ∠AOB=弧度,则                                    

 A.  tan=      B. tan=2  

 C.  sin=2cos    D. 2 sin= cos      

【标准答案】

解析：由于劣弧AB等分△POB的面积，所以S=2S,

则OB?PB=l?OB×2=?OB，

所以PB=2?OB,则 tan==2.故选B。

26. O为△ABC的内切圆圆心，且AB=5、BC=4、CA=3，

下列结论中正确的是（    ）

A．  

B. >

C. ==   

D. <=

【标准答案】

解析：作出图形， 如图，数量积的意义是实数作差比大小，

-=，由直角三角形C中为直角，

则<0，故<；

同理 -=<0，

则<。

故<<,应选A。

说明：向量的数量积为实数可转化为实数大小的问题，作差借助减法的运算又化归数量积判断，借助几何条件判断数量积符号，充分显示了数量积的本质属性，为向量和实数的相互转化提供了方法和依据。

27. 已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为L，若在L上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（  ）

A         B        C       D   

【标准答案】

解析：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM的垂直平分线经过点F，则利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的距离），则有 2≥≥，选A。

说明：离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建。

利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化，回味本题的探究过程，认识解析几何中“形助数”简化运算的途径。

28. 在棱长为1的正方体ABCD-ABCD的底面ABCD内取一点E,使AE与AB、AD所成的角都是60°,则线段AE的长为（  ）

    A.     B.    C.    D.

【标准答案】

解析：由∠EAB=∠EAD，则E点必在A₁C上，

且E 在面A₁C上的射影在AC上为F， 如图，

    ∵cos∠FAM==，    

∴cos∠BAE==?=cos60°=，

     ∴cos∠FAE= cos∠AEA= =,则∠AEA=45°，

∴△AEA为等腰直角三角形，故AE=。

29．设函数  ,若，则实数的取值范围是     （    ）

       A．（                B．（－）

       C．（－                         D．（－

【标准答案】 C

30. 已知是定义在R上的偶函数，且对于任意，都有，当时，，则函数在上的反函数的值为 （    ）  

  A.     B.3－2     C.5＋  D.－1－2

【标准答案】

D 解析：由已知

（|=

                  非 选 择 题 部 分

1．函数的反函数的对称中心为（1，－1），则实数＝           .

【标准答案】

1   解析： 由已知的对称中心为，则，a=1．

2．不等式的解集为            ．

【标准答案】

3．设点P（）是函数与（x∈（，）图象的交点，则（）（的值是_{――――――――――――――。}

【标准答案】

2   解析：依题意，与（x∈（，）图象的交点为（0，0），所以（）（的值是2

4. 如果随机变量ξ～N (),且P（）=0.4，则P（）=   

【标准答案】

解析：如果随机变量ξ～N (),且P（）=0.4，

 P（）=，

∴， ∴P（）=。

5. 已知集合为，它的所有的三个元素的子集的和是，则＝            。

【标准答案】

解析：因为包含了任意一个元素的三元素集合共个，所以在中，每个元素都出现了次，所以

，所以

。

6.给出下列命题中

① 向量满足，则的夹角为；

② ＞0，是的夹角为锐角的充要条件；

③ 将函数y =的图象按向量=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =；

④ 若，则为等腰三角形；

以上命题正确的是                      （注：把你认为正确的命题的序号都填上）

【标准答案】

利用向量的有关概念，逐个进行判断切入，

对于 ① 取特值零向量错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确；

对②取特值夹角为直角错，认识数量积和夹角的关系，命题应为＞0，是的夹角为锐角的必要条件；

对于③，注意按向量平移的意义，就是图象向左移1个单位，结论正确；

对于④；向量的数量积满足分配率运算，结论正确；

7．约束条件：，目标函数的最小值是_________________..\

【标准答案】.0

8. 已知椭圆的右焦点为过作与轴垂直的直线与椭圆相交于点，过点的椭圆的切线与轴相交于点，则点的坐标为_________________..

【标准答案】 

9. 已知集合,对它的非空子集A,先将A中的每个元素分别乘以

,再求和(如A={1,3,6},可求得和为),则对M的所有非空子集,这些和的总和是_________________.

【标准答案】 96

10. 对于三次函数。

定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；

定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称。

己知，请回答下列问题：

（1）求函数的“拐点”的坐标

（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）

（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）

【标准答案】

（1）依题意，得： ，

。……………………2分

    由 ，即。∴，又 ，

    ∴的“拐点”坐标是。……………………4分

    （2）由(1)知“拐点”坐标是。

    而=

    ==，

由定义(2)知：关于点对称。……………………8分

一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。………………………………………………………………………10分

（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分

（3）或写出一个具体的函数,如或。…………12分

说明：本题在函数、导数、方程的交汇处命题，具有较强的预测性，而且设问的方式具有较大的开放性，情景新颖.解题的关键是：深刻理解函数“拐点”的定义和函数图像的对称中心的意义。其本质是：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且任何一个三次函数的拐点就是它的对称中心，即。

11. 已知函数f (x)=x³+ ax²－bx  (a, b∈R) .

(1)若y=f (x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y=f (x)的极大值；

(2)若y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，求a + b的最小值.

【标准答案】

解：(1)∵f ′(x)=x²+2ax－b ,

∴ 由题意可知：f ′(1)=－4且f (1)= －,

∴ 解得：…………………………3分

∴ f (x)=x³－x²－3x。

f ′(x)=x²－2x－3=（x+1）（x－3）.

令f ′(x)=0，得x₁=－1，x₂=3，

    由此可知：

x

(－∞,－1)

－1

(－1, 3)

3

(3, +∞)

f ’(x)

+

0

－

0

+

f (x)

ㄊ

f (x)极大5/3

ㄋ

f (x) 极小

ㄊ

∴ 当x=－1时, f (x)取极大值.  …………………………6分

(2) ∵y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，

∴f ′(x)=x²+2ax－b≤0在区间[－1，2]上恒成立.

根据二次函数图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即：

也即…………………9分

作出不等式组表示的平面区域如图：

当直线z=a+b经过交点P(－, 2)时，

z=a+b取得最小值z=－+2=,

∴z=a+b取得最小值为……………………12分

12. 已知函数和．其中．

（Ⅰ）若函数与的图像的一个公共点恰好在x轴上，求的值；

（Ⅱ）若函数与图像相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的的值；如果没有，请说明理由．

（Ⅲ）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．

【标准答案】

解：（Ⅰ）设函数图像与x轴的交点坐标为（，0），又∵点（，0）也在函数的图像上，∴．

而，∴．（Ⅱ）依题意，，即，整理，得  ，①∵，函数与图像相交于不同的两点A、B，∴，即△==＝(3-1)(--1)>0.∴-1<<且.设A(，)，B(，)，且<，由①得，=1>0, .设点o到直线的距离为d，

则，.

∴＝=.

∵-1<<且,∴当时，有最大值，无最小值.（Ⅲ）由题意可知．,∴,∴当时，即．

又,

∴<0, ∴,综上可知，．

13.已知 函数f(x)=的图像关于原点对称，其中m,n为实常数。

（1）求m , n的值；

（2）试用单调性的定义证明：f (x) 在区间[-2, 2] 上是单调函数；

（3）当-2≤x≤2 时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。

【标准答案】

(1)由于f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数,

f(-x)=-f(x) 

∴f(x)在[-2,2]上是减函数。

（3）由（2）知f(x)在[-2,2]上是减函数，则-2时,

故-2不等式f(x)恒成立，

14 已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，。满足：－[y＋2f ^/(1)]＋ln(x＋1)＝0.

（1）求函数y＝f(x)的表达式；

（2）若x＞0，证明：f(x)＞；

（3）若不等式x²≤f(x²)＋m²－2bm－3时，x∈[－1，1]及b∈[－1，1]都恒成立，

求实数m的取值范围．

【标准答案】

(1)∵－[y＋2f ^/(1)]＋ln(x＋1)＝0，∴＝[y＋2f ^/(1)]－ln(x＋1)

由于A、B、C三点共线　即[y＋2f ^/(1)]＋[－ln(x＋1)]＝1

∴y＝f(x)＝ln(x＋1)＋1－2f ^/(1)

f ^/(x)＝，得f ^/(1)＝，故f(x)＝ln(x＋1)   4分

（2）令g(x)＝f(x)―－，由g^/(x)＝－＝

         ∵x＞0，∴g^/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数

　　　　　　故g(x)＞g(0)＝0

           即f(x)＞ 。         12分

　　（3）原不等式等价于x²－f(x²)≤m²－2bm－3。

　　　　令h(x)＝x²－f(x²)＝x²－ln(1＋x²)，由h^/(x)＝x－＝

        当x∈[－1，1]时，h(x)_max＝0，∴m²－2bm－3≥0

令Q(b)＝m²－2bm－3，则

解得m≥3或m≤－3  。                             12分

15  已知集合．其中　为正常数．

（I）设，求的取值范围．

（II）求证：当时不等式对任意恒成立；

（III）求使不等式对任意恒成立的的范围．

【标准答案】

（I），当且仅当时等号成立，

故的取值范围为．（3分）

（II） 变形，得

.  （5分）

由，又，，∴在上是增函数，

所以．

即当时不等式成立．  （9分）

（III）令，则，

即求使对恒成立的的范围．（10分）

由（II）知，要使对任意恒成立，必有，

因此，∴函数在上递减，在上递增，                                                         

要使函数在上恒有，必有，

即，解得．（14分）

说明：二元不等式求最值这是考试大纲的要求，不等式恒成立变形转化为函数值之间的关系，变形换元化归基本的初等函数的复合函数，构造函数的单调性解决，这是函数的一个重要应用，考查了正比例和反比例函数的性质，最后一问的恒成立问题换元后，分离参数化归对号函数单调性解决值域，再构建不等式解参数范围，这是高考命题的热点。

16. 已知是数列{}的前项和，
(1)分别计算的值；
(2)证明：当≥1时，≥，并指出等号成立条件；
(3)利用（2）的结论，找出一个适当的∈N，使得＞2008；
(4)是否存在关于正整数的函数，使得对于大于1的正整数都成立？证明你的结论。

【标准答案】

(1)＝，
    ＝，
    ＝。                        …………2分

(2)当≥1时，＝(共2^n－1项)

≥×2^n－1＝，当且仅当＝1时，等号成立。                           …………4分
(3)由于＝1，当≥1时，≥，
于是，要使得S_T＞2008，只需＞2007。
将按照第一组2¹项，第二组2²项，……，第组项的方式分组，……6分
由(2)可知，每一组的和不小于，且只有＝1时等于，
将这样的分组连续取2×2007组，加上a₁，共有2⁴⁰¹⁵项，
这2⁴⁰¹⁵项之和一定大于1＋2007＝2008，
故只需取＝2⁴⁰¹⁵,就能使得＞2008；                                  …………8分
(注：只要取出的不小于2⁴⁰¹⁵，并说出相应理由，都给满分)
(4)设这样的存在，
＝2时，有1＝Þ，
＝3时，有＝Þ，

猜测＝ (≥2).下面用数学归纳法证明：
①＝2,3时，上面已证，猜测正确；
②设＝ (≥2)时，即成立
则

即＝时，猜测也正确。
综上所述，存在＝，使得对于大于1的正整数都成立。                                                                  …………12分

17. △ABC中，．

（I）求∠C的大小；

（Ⅱ）设角A，B，C的对边依次为，若，且△ABC是锐角三角形，求的取值范围．

【标准答案】

解：（1）依题意：，即，又，

∴  ，∴  ，

（2）由三角形是锐角三角形可得，即。

     由正弦定理得∴  ，

∴  ，

  ∵   ，∴  ，

∴      即。

18  在中，.

( I)证明:;

(Ⅱ)若,求的值.

【标准答案】

解析：设,则=,,

,又,

.

(2)=,

19