三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

【解析】第一问利连结，，∵M,N是AB，的中点∴MN//．

又∵平面，∴MN//平面．      ----------4分

⑵中年∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∴四边形是正方形．∴．∴．连结，．

∴，又N中的中点，∴．

∵与相交于点C，∴MN平面．      --------------9分

⑶中由⑵知MN是三棱锥M-的高．在直角中，，

∴MN=．又．．得到结论。

⑴连结，，∵M,N是AB，的中点∴MN//．

又∵平面，∴MN//平面．   --------4分

⑵∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，

∴四边形是正方形．∴．

∴．连结，．

∴，又N中的中点，∴．

∵与相交于点C，∴MN平面．      --------------9分

⑶由⑵知MN是三棱锥M-的高．在直角中，，

∴MN=．又．

如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面平面.

（Ⅰ）求证：点为棱的中点；

（Ⅱ）判断四棱锥和的体积是否相等，并证明。

【解析】本试题主要考查了立体几何中的体积问题的运用。第一问中，

易知，面。由此知：从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点.

（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D为BB₁中点，可以得证。

（1）过点作于点，取的中点，连。面面且相交于，面内的直线，面。……3分

又面面且相交于，且为等腰三角形，易知，面。由此知：，从而有共面，又易知面，故有从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点.               …6分

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD=1 /3 S_B1C1CD•A₁B₁=1/ 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD=1 /3 S_A1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D为BB₁中点，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD