8．点P到A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：y＝x的距离等于，则这样的点P的个数为________．

解析：由抛物线定义，知点P的轨迹为抛物线，其方程为y²＝4x，设点P的坐标为，由点到直线的距离公式，知＝，即y－4y₀±4＝0，易知y₀有三个解，故点P个数有三个．

答案：3

7．已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________．

解析：设抛物线方程为x²＝－2py，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，

故方程为x²＝－8y，水面上升米，则y＝－，代入方程，得x²＝－8×＝12，x＝±2.故水面宽4米．

答案：4米

6．设抛物线y²＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于(　)

A.　 　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　 D.

解析：由|BF|＝2小于点M到准线的距离知点B在A、C之间，由抛物线的定义知点B的横坐标为，代入得y²＝3，则B，另一种可能是，那么此时直线AC的方程为＝，即y＝，把y＝代入y²＝2x，可得2x²－7x+6＝0，可得x＝2，则有y＝2，即A(2,2)，那么S_△BCF?S_△ACF＝|BC|?|AC|＝?＝4?5，故选A.

答案：A

5．设F为抛物线y²＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＝0，则等于(　)

A．9　 　　　　　　　　 B．6

C．4　 　　　　　　　　 D．3

解析：设A、B、C三点的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₃)，F(1,0)．

∵＝0，∴x₁+x₂+x₃＝3.

又由抛物线定义知＝x₁+1+x₂+1+x₃+1＝6，故选B.

答案：B

4．若抛物线y²＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有(　)

A．0个　 　　　　　　　　　　 B．1个

C．2个　 　　　　　　　　　　 D．4个

解析：经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|＝|CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线y²＝4x上．

故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆，故选C.

答案：C

3．抛物线y²＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是(　)

A．4　 　　　　　　　　 B．3

C．4　 　　　　　　 D．8

解析：抛物线y²＝4x的焦点为F(1,0)，准线为l：x＝－1，经过F且斜率为的直线y＝(x－1)与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2)，AK⊥l，垂足为K(－1,2)，∴△AKF的面积是4.故选C.

答案：C

2．已知直线l₁：4x－3y+6＝0和直线l₂：x＝－1，抛物线y²＝4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是(　)

A．2　 　　　　　 B．3

C.　 　　　　　 D.

解析：如图所示，动点P到l₂：x＝－1的距离可转化为P到F的距离，由图可知，距离和的最小值即F到直线l₁的距离d＝＝2，故选A.

答案：A

1．设斜率为2的直线l过抛物线y²＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　)

A．y²＝±4　　　　　　 B．y²＝±8x

C．y²＝4x　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．y²＝8x

解析：y²＝ax的焦点坐标为.过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x＝0得：y＝－.

∴×·＝4，

∴a²＝64，

∴a＝±8，故选B.

答案：B

13.在右图所示的几何体中,平面PAC⊥平面ABC,PM∥BC,PA=PC,AC=1,BC=2PM=2,AB=若该几何体的侧视图(左视图)的面积为

(1)求证:PA⊥BC;

(2)画出该几何体的正视图,并求其面积S;

(3)求出多面体A-BMPC的体积V.

解:(1)证明:AC=1,BC=2,AB=,

∴AC²+BC²=AB².

∴AC⊥BC.又∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,

∴BC⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC,∴PA⊥BC.

(2)设几何体的正视图如图所示:

∵PA=PC,取AC的中点D,连接PD,则PD⊥AC.

又平面PAC⊥平面ABC,

∴PD⊥平面ABC.

∴几何体侧视图的面积=AC·PD

=×1×PD=.

∴PD=.易知△PAC是边长为1的正三角形.

∴正视图的面积是上､下底边长分别为1和2,PD的长为高的直角梯形的面积.

∴S=

(3)取PC的中点N,连接AN,由△PAC是边长为1的正三角形,可知AN⊥PC,由(1)知BC⊥平面PAC,

∴AN⊥BC,∴AN⊥平面PCBM.

∴AN是四棱锥A-PCBM的高,且AN=

由BC⊥平面PAC,可知BC⊥PC.

由PM∥BC,可知四边形PCBM是上､下底边长分别为1和2,PC的长1为高的直角梯形.

其面积S′=,∴V=S′·AN=

12.如图,在三角形ABC中,若AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.

解:如图所示,所得旋转体是两个底面重合的圆锥,高的和为AB=5.底面半径等于CO=,所以所得旋转体的表面积S=π·OC·(AC+BC)=π··(3+4)=π;其体积V=·π·OC²·AO+·π·OC²·BO=·π·OC²·AB=π.

评析:求一些组合体的表面积和体积时,首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成,再通过轴截面分析和解决问题.