2．(2010·新创题)定义：离心率e＝的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：+＝1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0)，P为椭圆E上的任意一点，若a，b，c不是等比数列，则(　)

A．E是“黄金椭圆”

B.　 E一定不是“黄金椭圆”

C.　 E不一定是“黄金椭圆”

D.　 可能不是“黄金椭圆”

解析：假设E为黄金椭圆，则e＝＝，

即c＝a，

∴b²＝a²－c²＝a²－²＝a²＝ac.

即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．

答案：B

1．(2010·天门)设P是椭圆+＝1上一动点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，则cos∠F₁PF₂的最小值是(　)

A.　　　　　　　 B.

C．－　 　　　　　　　　　　　　　　 D．－

解析：设|PF₁|＝m，|PF₂|＝n，由题意m+n＝6，

c＝，则cos∠F₁PF₂＝＝＝－1≥－1＝－.

答案：C

13．(2010·南昌调研试题)如图，P是以F₁、F₂为焦点的双曲线C：－＝1上的一点，已知

(1)求双曲线的离心率e；

(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P₁、P₂两点，若.求双曲线C的方程．

解：(1)利用向量的垂直及双曲线的定义建立等式即可确定，(2)运用向量的坐标运算，利用待定系数法建立方程组即可解得．

(1)由得，即△F₁PF₂为直角三角形．设＝2r，于是有(2r)²+r²＝4c²和2r－r＝2a，也就是5×(2a)²＝4c²，所以e＝.

(2)＝＝2，可设P₁(x_1,2x₁)，P₂(x₂，－2x₂)，P(x，y)，则＝x₁x₂－4x₁x₂＝－，

所以x₁x₂＝.①

由2即x＝，y＝；又因为点P在双曲线－＝1上，所以－＝1，又b²＝4a²，代入上式整理得x₁x₂＝a²②，由①②得a²＝2，b²＝8，故所求双曲线方程为－＝1.

评析：平面向量与平面解析几何的综合考查是近几年高考考查的热点问题，往往通过向量的运算及其几何意义来解决解析几何问题．在解析几何中当直线与曲线相交时，对于交点坐标，若直接求解有时非常复杂，故往往设而不求，即设出点的坐标，利用点在曲线上或其满足的性质求解．本题借助直线与双曲线相交，利用设而不求的思想，结合向量的坐标运算及韦达定理简捷求出．

12．已知曲线C：+x²＝1.

(1)由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足，求点P的轨迹．P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；

(2)如果直线l的斜率为，且过点M(0，－2)，直线l交曲线C于A、B两点，又，求曲线C的方程．

解：(1)设E(x₀，y₀)，P(x，y)，

则F(x_0,0)，∵，

∴(x－x₀，y)＝3(x－x₀，y－y₀)．

∴

代入+x＝1中，得+x²＝1为P点的轨迹方程．

当λ＝时，轨迹是圆．

(2)由题设知直线l的方程为y＝x－2，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

联立方程组

消去y得：(λ+2)x²－4x+4－λ＝0.

∵方程组有两解，∴λ+2≠0且Δ>0，

∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x₁·x₂＝，

而＝x₁x₂+(y₁+2)·(y₂+2)＝x₁x₂+x₁·x₂＝3x₁x₂＝，

∴＝－，解得λ＝－14.

∴曲线C的方程是x²－＝1.

11．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F₁PF₂＝，且△PF₁F₂的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．

解：设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)．

F₁(－c,0)，F₂(c,0)，P(x₀，y₀)．

在△PF₁F₂中，由余弦定理，得：

|F₁F₂|²＝|PF₁|²+|PF₂|²－2|PF₁|·|PF₂|·cos＝(|PF₁|－|PF₂|)²+|PF₁|·|PF₂|.

即4c²＝4a²+|PF₁|·|PF₂|.

又∵S△PF₁F₂＝2.

∴|PF₁|·|PF₂|·sin＝2.

∴|PF₁|·|PF₂|＝8.

∴4c²＝4a²+8，即b²＝2.

又∵e＝＝2，∴a²＝.

∴双曲线的方程为：－＝1.

10．设F₁和F₂为双曲线－y²＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂＝60°，则△F₁PF₂的面积是______．

解析：在△F₁PF₂中，由余弦定理，得

|F₁F₂|²＝|PF₁|²+|PF₂|²－2|PF₁||PF₂|·cos60°，

∴|F₁F₂|²＝(|PF₁|－|PF₂|)²+|PF₁||PF₂|.

又|F₁F₂|²＝20，||PF₁|－|PF₂||＝4.

∴|PF₁||PF₂|＝4，

∴S△F₁PF₂＝|PF₁||PF₂|sin60°＝.

答案：

9．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则当它们的实、虚轴都在变化时，e+e的最小值是________．

解析：∵e＝，e＝，

∴e+e＝+

＝2++≥2+2

＝4(当且仅当a＝b时等号成立)．

答案：4

8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F₁(－c,0)、F₂(c,0)．若双曲线上存在点P，使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．

解析：∵e＝＝＝

＝＝1+，

∵|PF₂|>c－a，即e<1+，

∴e²－2e－1<0.

又∵e>1，∴1<e<+1.

答案：(1，+1)

7．已知点P是双曲线－＝1上除顶点外的任意一点，F₁、F₂分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF₁F₂的内切圆与F₁F₂切于点M，则|F₁M|·|F₂M|＝________.

解析：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，

|F₁M|－|F₂M|＝|PF₁|－|PF₂|＝2a，

又|F₁M|+|F₂M|＝2c，

解得|F₁M|＝a+c，|F₂M|＝c－a，从而|F₁M|·|F₂M|＝c²－a²＝b².

答案：b²

6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　)

A．[1,2]　 　　　　　　　　　　　　　 B．(1,2)

C．[2，+∞)　 　　　　　　　　　 D．(2，+∞)

解析：依题意，应有≥tan60°，又＝，

∴≥，解得e≥2.

答案：C