6．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是(　)

①y＝x+1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x+1.

A．①③　 B．①②

C．②③　 D．③④

解析：根据题意，看所给直线上的点到定点M距离能否取4.可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析．①d＝>4，故直线上不存在点到M距离等于4，不是“切割型直线”；②d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；③d＝＝4，直线上存在一点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；④d＝>4，故直线上不存在到点M距离等于4，不是“切割型直线”．

答案：C

5．下列命题中：

①两条直线互相平行等价于它们的斜率相等而截距不等；

②方程(2x+y－3)+λ(x－y+2)＝0(λ为常数)表示经过两直线2x+y－3＝0与x－y+2＝0交点的所有直线；

③过点M(x₀，y₀)，且与直线ax+bx+c＝0(ab≠0)平行的直线的方程是a(x－x₀)+b(y－y₀)＝0；

④两条平行直线3x－2y+5＝0与6x－4y+8＝0间的距离是．

其中不正确的命题的个数是(　)

A．0个　 　　　　　　　　　　 B．1个

C．2个　 　　　　　　　　　　 D．3个

解析：当斜率不存在时①不正确；方程(2x+y－3)+λ(x－y+2)＝0不表示过交点的直线x－y+2＝0，所以②不正确；若M(x₀，y₀)在直线ax+by+c＝0上，则c＝－ax₀－by₀，此时方程a(x－x₀)+b(y－y₀)＝0将会重合于直线ax+by+c＝0，所以③也不正确；只有④正确．

答案：D

4．使三条直线4x+y＝4，mx+y＝0,2x－3my＝4不能围成三角形的m值最多有(　)

A．1个　 　　　　　　 B．2个

C．3个　 　　　　　　 D．4个

解析：要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可．

若4x+y＝4与mx+y＝0平行，则m＝4；

若4x+y＝4与2x－3my＝4平行，则m＝；

若mx+y＝0与2x－3my＝4平行，则m值不存在；

若4x+y＝4与mx+y＝0及2x－3my＝4共点，

则m＝－1或m＝．

综上可知，m值最多有4个，故应选D.

答案：D

3．曲线与直线y＝2x+m有两个交点，则m的取值范围是(　)

A．m>4或m<－4　 　　　　　　　　　 B．－4<m<4

C．m>3或m<－3　 　　　　　　　　　 D．－3<m<3

解析：曲线的图象如图所示．与直线y＝2x+m有两个交点．则m>4或m<－4.故选A.

答案：A

2．入射光线沿直线x－2y+3＝0射向直线l：y＝x，被直线l反射后的光线所在直线的方程是(　)

A．2x+y－3＝0　 B．2x－y－3＝0

C．2x+y+3＝0　 D．2x－y+3＝0

解析：由入射光线与反射光线所在直线关于直线l：y＝x对称，把直线x－2y+3＝0中的x，y互换，得到2x－y－3＝0.

∴反射光线的方程为2x－y－3＝0.故应选B.

答案：B

1．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y+3＝0的直线方程为(　)

A．2x+y－1＝0　　　　　　　　 B．2x+y－5＝0

C．x+2y－5＝0　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．x－2y+7＝0

解析：已知直线的斜率为\f(1,2)，且所求直线垂直于已知直线，所以所求直线的斜率为－2，故方程为y－3＝－2(x+1)，即2x+y－1＝0.故选A.

答案：A

13．一束光线通过点M(25,18)射到x轴上，被反射到圆C：x²+(y－7)²＝25上．

(1)求通过圆心的反射光线方程；

(2)求在x轴上入射点A的活动范围．

解：∵圆心C(0,7)，半径r＝5，

(1)M关于x轴的对称点N(25，－18)，由光的性质可知，过圆心的反射光线所在的直线就是过N、C两点的直线，则过N、C的直线方程x+y－7＝0，即为所求．

(2)设过N的直线方程为y+18＝k(x－25)，即kx－y－25k－18＝0，当它为圆C的切线时，由＝5⇒k＝－或k＝－.

∴过N与圆C相切的直线为y+18＝－(x－25)或y+18＝－(x－25)，令y＝0，得x＝或x＝1，

∵A点活动范围在两切线与x轴的两交点之间，

∴A点在x轴上的活动范围是.

12．设点C为曲线y＝(x>0)上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B.

(1)证明：多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；

(2)设直线y＝－2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|＝|EN|，求圆C的方程．

解：(1)证明：设点C(t>0)，因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B.

所以，点E是直角坐标系原点，即E(0,0)．

于是圆C的方程是(x－t)²+²＝t²+.

则A(2t,0)，B.

由|CE|＝|CA|＝|CB|知，圆心C在Rt△AEB的斜边AB上，于是多边形EACB为Rt△AEB，

其面积S＝|EA|·|EB|＝×2t×＝4.

所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4.

(2)若|EM|＝|EN|，则E在MN的垂直平分线上，即EC是MN的垂直平分线．

因为k_EC＝＝，k_MN＝－2.

所以由k_EC·k_MN＝－1得t＝2.

所以圆C的方程是(x－2)²+(y－1)²＝5.

11．求过直线2x+y+4＝0和圆x²+y²+2x－4y+1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．

(1)过原点；(2)有最小面积．

分析：可考虑利用过直线与圆的交点的圆系方程来解决问题．

解：(1)设所求圆的方程为

x²+y²+2x－4y+1+λ(2x+y+4)＝0，

即x²+y²+2(1+λ)x+(λ－4)y+(1+4λ)＝0.　　　　　　　　　　 ①

∵此圆过原点，∴1+4λ＝0，λ＝－.

故所求圆的方程为x²+y²+x－y＝0.

(2)解法一：当半径最小时，圆面积也最小，对方程①左边配方，得

²+²

＝²+≥.

∴当λ＝时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为²+²＝.

解法二：当圆心在直线2x+y+4＝0上时，圆面积最小，易求得圆心坐标为，代入直线方程得－2(1+λ)－+4＝0，解得λ＝.

∴当λ＝时，此圆面积最小．故满足条件的圆的方程为x²+y²+x－y+＝0.

评析：联立直线与圆的方程，通过解方程组求出交点坐标．进而求出圆的方程计算繁琐．

过直线与圆交点的圆系方程

设直线l：Ax+By+C＝0与圆C：x²+y²+Dx+Ey+F＝0相交，则方程x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)＝0表示过直线l与圆C的交点的圆系方程．

10．设有一组圆：C_k：(x－k+1)²+(y－3k)²＝2k⁴(k∈N^*)．下列四个命题：

(1)存在一条定直线与所有的圆均相切

(2)存在一条定直线与所有的圆均相交

(3)存在一条定直线与所有的圆均不相交

(4)所有的圆均不经过原点

其中真命题的序号是____________．(写出所有真命题的序号)

解析：设直线为y＝ax+b，

d＝＝.

∵d中无二次项，∴不存在定值a、b使d＝k²，(1)错误，

当a＝3，b＝3时，

d＝0，恒小于k²与圆相交，(2)正确．

同(1)项之理，(3)错误．

将O(0,0)代入，方程不成立，(4)正确，选(2)(4)．

答案：(2)(4)