11.如图(1),等腰梯形ABCD中,ADBCABAD,∠ABC=60°,EBC的中点,如图(2),将△ABE沿AE折起,使二面角B-AE-C成直二面角,连接BCBDFCD的中点,P是棱BC的中点.

 (1)求证:AEBD

(2)求证:平面PEF⊥平面AECD

(3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由.

分析:由条件可知△ABE为正三角形,要证AEBD,可证明AE垂直于BD所在的平面BDM,即证AE⊥平面BDM;可用判定定理证明平面PEF⊥平面AECD;对于第(3)问可采用反证法证明.

解: (1)证明:取AE中点M,连接BMDM.

∵在等腰梯形ABCD中,ADBCABAD,∠ABC=60°,EBC的中点,

ABE与△ADE都是等边三角形.

BMAEDMAE.

BMDMMBMDM⊂平面BDM.

AE⊥平面BDM.

BD⊂平面BDM,∴AEBD.

(2)证明:连接CMEF交于点N,连接PN,如图.

MEFC,且MEFC

∴四边形MECF是平行四边形.

N是线段CM的中点.

P是线段BC的中点,∴PNBM.

BM⊥平面AECD,∴PN⊥平面AECD.

又∵PN⊂平面PEF

∴平面PEF⊥平面AECD.

(3)DE与平面ABC不垂直,

证明:假设DE⊥平面ABC,则DEAB

BM⊥平面AECD.∴BMDE.

ABBMBABBM⊂平面ABE

DE⊥平面ABE.

DEAE,这与∠AED=60°矛盾.

DE与平面ABC不垂直.

评析:翻折与展开是一个问题的两个方面,不论是翻折还是展开,均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化,元素间大小与位置关系,哪些不变,哪些变化,这是至关重要的.

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