5．过双曲线x²－y²＝8的左焦点F₁有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F₂是双曲线的右焦点，则△PF₂Q的周长是(　)

A．28　　　　　　　 B．14－8

C．14+8　 　　　　　　　　　　　　　 D．8

解析：|PF₂|+|PQ|+|QF₂|

＝|PF₂|－|PF₁|+|QF₂|－|QF₁|+2·|PQ|

＝14+8.

答案：C

4．我们把离心率为e＝的双曲线－＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：

①双曲线x²－＝1是黄金双曲线；

②若b²＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；

③若∠F₁B₁A₂＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；

④若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确的是(　)

A．①②　 B．①③

C．①③④　 D．①②③④

解析：①e＝＝＝＝，双曲线是黄金双曲线．

②由b²＝ac，可得c²－a²＝ac，两边同除以a²，即e²－e－1＝0，从而e＝，双曲线是黄金双曲线．

③|F₁B₁|²＝b²+c²，|A₂B₁|²＝b²+a²，|F₁A₂|²＝(a+c)²，注意到∠F₁B₁A₂＝90°，所以b²+c²+b²+a²＝(a+c)²，即b²＝ac，由②可知双曲线为黄金双曲线．

④∵|MN|＝，由射影定理知|OF₂|²＝|MF₂|·|F₂N|，即c²＝，从而b²＝ac，由②可知双曲线为黄金双曲线．

答案：D

3．已知双曲线的两个焦点为F₁(－，0)、F₂(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足则该双曲线的方程是(　)

A.－y²＝1　 　　　　　　　　　　 B．x²－＝1

C.－＝1　 　　　　　　　　　　　　　　 D.－＝1

解析：设双曲线方程为－＝1，且M为右支上一点，

由已知|MF₁|－|MF₂|＝2a，

∴＝4a².

又∵

∴4c²－4＝4a²，即b²＝1.

又∵c＝，∴a²＝9.

∴双曲线方程为－y²＝1，故选A.

答案：A

2．已知双曲线9y²－m²x²＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于(　)

A．1 　　　　　B．2

C．3 　　　　　D．4

解析：9y²－m²x²＝1(m>0)⇒a＝，b＝，取顶点，一条渐近线为mx－3y＝0，

∵＝⇒m²+9＝25，

∴m＝4，故选D.

答案：D

1．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F₁、F₂，∠F₁MF₂＝120°，则双曲线的离心率为(　)

A.　B.

C.　　　 D.

解析：由图易知：＝tan60°＝，

不妨设c＝，b＝1，则a＝.

∴e＝＝＝.故选B.

答案：B

13．(2010·福建)已知抛物线C：y²＝2px(p>0)过点A(1，－2)．

(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．

解：(1)将(1，－2)代入y²＝2px，得(－2)²＝2p·1，所以p＝2.

故所求抛物线C的方程为y²＝4x，其准线方程为x＝－1.

(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x+t，

由得y²+2y－2t＝0.

因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4+8t≥0，解得t≥－.

由直线OA与l的距离d＝可得＝，解得t＝±1.

因为－1∉，1∈，

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y－1＝0.

12．是否存在同时满足下列条件的抛物线：①准线是y轴；②顶点在x轴上；③点A(3,0)到该抛物线上的动点P的距离的最小值为2？如果存在，求出抛物线方程；如果不存在，说明理由．

解：设满足条件的抛物线存在，顶点B在x轴上．

设B(a,0)，以y轴为准线的抛物线方程为

y²＝4a(x－a)，由条件知a>0.

设P是抛物线上的点，其坐标为.

则|AP|²＝²+m²

＝[m²－12(a－a²)]²+12a－8a²，

∴当a－a²≥0，即0＜a≤1，

且m²＝12(a－a²)时，|AP|_min＝.

∴＝2，解得a＝1或a＝.

此时抛物线方程为y²＝4(x－1)或y²＝2.

当a－a²<0，即a>1，且m＝0时，

|AP|_min＝|a－3|＝2.

∴a＝5，此时抛物线方程为y²＝20(x－5)，

∴存在满足条件的抛物线，其方程为

y²＝4(x－1)或y²＝2或y²＝20(x－5)．

11．A、B是抛物线y²＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.

(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；

(2)求证：直线AB过定点；

(3)求弦AB中点P的轨迹方程；

(4)求△AOB面积的最小值．

解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，中点P(x₀，y₀)．

(1)k_OA＝，k_OB＝.

∵OA⊥OB，∴k_OA·k_OB＝－1，∴x₁x₂+y₁y₂＝0.

∵y＝2px₁，y＝2px₂，∴·+y₁y₂＝0.

∵y₁≠0，y₂≠0，∴y₁y₂＝－4p²，∴x₁x₂＝4p².

(2)∵y＝2px₁，y＝2px₂，

∴(y₁－y₂)(y₁+y₂)＝2p(x₁－x₂)．

∴＝，∴k_AB＝.

∴直线AB：y－y₁＝(x－x₁)．

∴y＝+y₁－.

∴y＝+.

∵y＝2px₁，y₁y₂＝－4p²，∴y＝+.

∴y＝(x－2p)．

∴AB过定点(2p,0)．

(3)如图，设OA：y＝kx，代入y²＝2px得：x＝0或x＝，

∴A.

同理，以－代k得B(2pk²，－2pk)．

设中点坐标P(x₀，y₀)，

∴.

∵k²+＝²+2，∴＝²+2，

即y＝px₀－2p².

∴中点P的轨迹方程为y²＝px－2p².

(4)设M(2p,0)，S_△AOB＝S_△AOM+S_△BOM＝|OM|(|y₁|+|y₂|)＝p(|y₁|+|y₂|)≥2p＝4p²，当且仅当|y₁|＝|y₂|＝2p时，等号成立．

评析：解决直线与抛物线的有关问题时要注意以下几点：①设抛物线上的点为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)；②因为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)都在抛物线上，故满足y＝2px₁，y＝2px₂；③利用yy＝4p²x₁x₂可以整体得到y₁y₂或x₁x₂.

10．设x₁、x₂∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x₁]x*a))的轨迹方程是________．

解析：由y＝，得y²＝x*a＝(x+a)²－(x－a)²＝4ax(y≥0)．

答案：y²＝4ax(y≥0)

9．已知F为抛物线C：y²＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．

解析：抛物线C：y²＝4x的焦点F(1,0)，准线方程：x＝－1，如图，

则直线AB的方程为y＝x－1，

由得

x²－6x+1＝0，①

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁，x₂是方程①的两根，

∴x₁x₂＝1，x₁＝3+2.

根据抛物线定义，得|FA|＝x₁+1，

|FB|＝x₂+1(x₁>x₂)，

∴＝＝＝＝x₁＝3+2.

答案：3+2