摘要：如图(1).等腰梯形ABCD中.AD∥BC.AB＝AD.∠ABC＝60°.E是BC的中点.如图(2).将△ABE沿AE折起.使二面角B-AE-C成直二面角.连接BC.BD.F是CD的中点.P是棱BC的中点. (1)求证:AE⊥BD, (2)求证:平面PEF⊥平面AECD, (3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由. 分析:由条件可知△ABE为正三角形.要证AE⊥BD.可证明AE垂直于BD所在的平面BDM.即证AE⊥平面BDM,可用判定定理证明平面PEF⊥平面AECD,对于第(3)问可采用反证法证明. 解: (1)证明:取AE中点M.连接BM.DM. ∵在等腰梯形ABCD中.AD∥BC.AB＝AD.∠ABC＝60°.E是BC的中点. △ABE与△ADE都是等边三角形. ∴BM⊥AE.DM⊥AE. ∵BM∩DM＝M.BM.DM⊂平面BDM. ∴AE⊥平面BDM. ∵BD⊂平面BDM.∴AE⊥BD. (2)证明:连接CM.EF交于点N.连接PN.如图. ∵ME∥FC.且ME＝FC. ∴四边形MECF是平行四边形. ∴N是线段CM的中点. ∵P是线段BC的中点.∴PN∥BM. ∵BM⊥平面AECD.∴PN⊥平面AECD. 又∵PN⊂平面PEF. ∴平面PEF⊥平面AECD. (3)DE与平面ABC不垂直. 证明:假设DE⊥平面ABC.则DE⊥AB. ∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE. ∵AB∩BM＝B.AB.BM⊂平面ABE. ∴DE⊥平面ABE. ∴DE⊥AE.这与∠AED＝60°矛盾. ∴DE与平面ABC不垂直. 评析:翻折与展开是一个问题的两个方面.不论是翻折还是展开.均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化.元素间大小与位置关系.哪些不变.哪些变化.这是至关重要的.

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