14.

13.

12. (2011湖北宜昌，23，10分)如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC = 1，BC =2.

(1) 如图2, ⊙O 与Rt△ABC的边AB 相切于点X，与边CB相切于点Y.请你在图2 中作出并标明⊙O 的圆心0；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)

(2) P 是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt△ABC 的两条边相切.设⊙P 的面积为S，你认为能否确定S 的最大值？ 若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由.

　　　　　 (第23题图1)　　　　　　　　　 (第23题图2)

[答案]解：(1)共2分.(标出了圆心，没有作图痕迹的评1分)看见垂足为Y(X)的一　条　垂　线　(或　者∠ABC的平分线)即评1分，

　(2)①当⊙P与Rt△ABC的边　AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P₁　(不为∠ABC的顶点)，∵　OX　＝BOsin∠ABM，P₁Z＝BP₁sin∠ABM．当　BP₁＞BO　时　，P₁Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．这时，BM与AC的交点P是符合题意的BP长度最大的点.

(3分.此处没有证明和结论不影响后续评分)如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，即这时的⊙P是符合题意的圆.(4分.此处没有证明和结论不影响后续评分)这时⊙P的面积就是S的最大值.∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴　Rt△ABC∽Rt△APE，(5分)∴ =.∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝　　.设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x,PC＝PE，

∴ =，∴x＝．(6分) ② 如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，

设PC＝y，则　 =，∴y=　(7分) ③ 如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF＝z，则=，∴z=(8分)由①，②，③可知：∵　　＞2，∴　　+2＞+1＞3，∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，(或者:∵x＝＝2　－4, y=　=　，

∴y-x=>0,∴y>x.　

∵z-y=－　=>0，∴2>　>　，(9分，没有过程直接得出酌情扣1分)∴　z＞y＞x.

∴⊙P的面积S的最大值为π.(10分)

　　　　　　　　 (第23题答图1)　　　　　　　　　　　 (第23题答图1)

　　　　　　　　 (第23题答图3)　　　　　　　　　　　 (第23题答图4)

11. (2011重庆市潼南,19,6分)画△ABC,使其两边为已知线段a、b，夹角为.

(要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不

写作法).

已知：

求作：

[答案]已知：线段a、b 、角　　　　　　　　 -------------1分　　　　　　　　　　　　　

求作：△ABC使边BC=a，AC= b，∠C=　 ------------2分

画图(保留作图痕迹图略)　　　　　　　　　 --------------6分

10．(2011江苏无锡，26，6分)(本题满分6分)如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°。正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。

　　 (1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；

　　 (2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ

所围成图形的面积S。

[答案]解：(1)如右图所示．……………………(3分)

　(2)S = 2[π·1² + π·()² + 1 + π·1²]

　　 = + 2．………………………(6分)

9. (2011江苏南京，27，9分)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．

⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹)；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

[答案]解：⑴在Rt △ABC中，∠ ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴，∴CD=BD．

∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．

∴E是△ABC的自相似点．

⑵①作图略．

作法如下：(i)在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；

(ii)在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．

则P为△ABC的自相似点．

②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，．

∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．

∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，

∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．

∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．

∴．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．

8. (2011重庆綦江，19，6分)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置.

要求: 写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

解：已知：

　　　　 求作：

[答案]：解：已知：A、B、C三点不在同一直线上.

求作：一点P，使PA＝PB＝PC.

(或经过A、B、C三点的外接圆圆心P)

正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P

7. ( 2011重庆江津， 23，10分)A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3).

(1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标.

(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.

[答案](1)存在满足条件的点C: 作出图形，如图所示，作图略；

　 (2)作出点A关于x轴的对称点A^/(2,-2), 连接A^/B，与x轴的交点即为所求的点P.

　 设A^/B所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把A^/(2,-2), B(7,3)分别代入得：

　 　　解得：·

　 所以： y=x-4·

　 当y=0时，x=4,所以交点P为(4，0)·

6. (2011甘肃兰州，25，9分)如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C。

(1)请完成如下操作：

①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法，保留作图痕迹)，并连结AD、CD。

(2)请在(1)的基础上，完成下列问题：

①写出点的坐标：C　　　　　 、D　　　　　 ；

②⊙D的半径=　　　　　　 (结果保留根号)；

③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为　　　　 (结果保留π)；

④若E(7，0)，试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由。

[答案](1)

(2)

① C(6，2)，D(2，0)

②

③

④相切。

理由：∵CD=，CE=，DE=5

∴CD²+CE²=25=DE²

∴∠DCE=90°即CE⊥CD

∴CE与⊙D相切。

5. (2011四川重庆，20，6分)为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)

[答案]