12. (2011湖北宜昌,23,10分)如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC = 1,BC =2.

(1) 如图2, ⊙O 与Rt△ABC的边AB 相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2 中作出并标明⊙O 的圆心0;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)

(2) P 是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P 为圆心的⊙P 与Rt△ABC 的两条边相切.设⊙P 的面积为S,你认为能否确定S 的最大值? 若能,请你求出S 的最大值;若不能,请你说明不能确定S的最大值的理由.

 

      (第23题图1)          (第23题图2)

[答案]解:(1)共2分.(标出了圆心,没有作图痕迹的评1分)看见垂足为Y(X)的一 条 垂 线 (或 者∠ABC的平分线)即评1分,

 (2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时,由角平分线的性质,动点P是∠ABC的平分线BM上的点,如图1,在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1 (不为∠ABC的顶点),∵ OX =BOsin∠ABM,P1Z=BP1sin∠ABM.当 BP1>BO 时 ,P1Z>OX,即P与B的距离越大,⊙P的面积越大.这时,BM与AC的交点P是符合题意的BP长度最大的点.

(3分.此处没有证明和结论不影响后续评分)如图2,∵∠BPA>90°,过点P作PE⊥AB,垂足为E,则E在边AB上.∴以P为圆心、PC为半径作圆,则⊙P与边CB相切于C,与边AB相切于E,即这时的⊙P是符合题意的圆.(4分.此处没有证明和结论不影响后续评分)这时⊙P的面积就是S的最大值.∵∠A=∠A,∠BCA=∠AEP=90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE,(5分)∴ =.∵AC=1,BC=2,∴AB=  .设PC=x,则PA=AC-PC=1-x,PC=PE,

=,∴x=.(6分) ② 如图3,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时,

设PC=y,则  =,∴y= (7分) ③ 如图4,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时,设PF=z,则=,∴z=(8分)由①,②,③可知:∵  >2,∴  +2>+1>3,∵当分子、分母都为正数时,若分子相同,则分母越小,这个分数越大,(或者:∵x==2 -4, y= = 

∴y-x=>0,∴y>x. 

∵z-y=- =>0,∴2> > ,(9分,没有过程直接得出酌情扣1分)∴ z>y>x.

∴⊙P的面积S的最大值为π.(10分)

   

         (第23题答图1)            (第23题答图1)

 

         (第23题答图3)            (第23题答图4)

 0  49630  49638  49644  49648  49654  49656  49660  49666  49668  49674  49680  49684  49686  49690  49696  49698  49704  49708  49710  49714  49716  49720  49722  49724  49725  49726  49728  49729  49730  49732  49734  49738  49740  49744  49746  49750  49756  49758  49764  49768  49770  49774  49780  49786  49788  49794  49798  49800  49806  49810  49816  49824  447348 

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