练习：数列{a_n}满足，猜测a_n=_________________（）

   例2、自然数的平方的末位数字能否为2？

   解答：自然数平方的末位数字取决于自然数的末位数字，一个自然数的末位数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十种情况，于是有

N的末位数字

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

N²的末位数字

0

1

4

9

6

5

6

9

4

1

末位数字不可能是2

   说明：这种将所有情况列举出的归纳推理称完全归纳法，它适用于有限的情况，结论一定正确。相应的没有说明所有情况的归纳推理称不完全归纳法

   例3、(1)<, <,<,<,…………,由此归纳出一般结论

   (2) <,<,<,......由此归纳出一般结论

  (3)由(1)和(2),归纳出一个更一般的结论，并证明

解答：(1)d>0，<

(2)d>0,<

(3)m>n>0,d>0则<,证明-=>0，故猜想归纳正确

 练习：教材P64---练习题

  1、由特殊到一般的推理称归纳推理

  2、归纳推理分完全归纳和不完全归纳法，完全归纳法得到的结论是正确的，不完全归纳法得到的结论未必正确（若正确需要证明，不正确需要举反例，不能说明正确与否的只能算做猜想）

[补充习题]

1、观察下列式子1+<,1++<,1+++<,…,由此可以得出结论___________

2、f(x)=,归纳出=_________________

3、因当n=0,1,2,3时，2ⁿ<n²+8，故对于所有的自然数n，2ⁿ<n²+8,这样的推理是否为归纳推理？结论正确吗？

4、圆内彼此两两相交的n（n≥2）条线段，彼此最多能分成多少条线段？将圆最多分成多少部分？

[答案]

1、<

2、

3、是归纳推理，结论不正确

4、n²,

                            第二课时   类比推理

[教学目标]

[教学重点]类比推理

[教学难点]类比推理的正确性

[教学过程]

2、鲁班通过被刺菜发明了锯，这一推理过程是归纳推理吗？实质是什么？（不是归纳推理，是由特殊到特殊的推理，将这种推理命名为类比推理）

汇总1：类比推理的一般模式是

汇总2：类比推理结果未必正确，也属于一种合情推理。这样合情推理中最常见的两种推理就是归纳与类比，前者是由特殊到一般，后者是由特殊到特殊

汇总3：类比推理的过程：观察比较→联想类推→猜测新结论

例、三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则三角形的面积V=r(a+b+c)，写出空间一个类似结论。

解：四面体内切球半径为R，四个面的面积分别为S₁,S₂,S₃,S₃,则四面体的体积为V=R(S₁+S₂+S₃+S₄)

练习：教材P67---练习题

[补充习题]

1、平行四边形对角线交于一点且互相平分，类比到空间有_______________

2、在公差为d(d≠0)的等差数列{a_n}中，S_n是{a_n}的前n项和，则数列S₂₀-S₁₀,S₃₀-S₂₀,S₄₀-S₃₀也成等差数列，且公差为100d；类比此结论，对于公比为q的等比数列{b_n}的前n项积为T_n,则满足______________

3、平面直角坐标系xOy中，A、B不全为0，则Ax+By+C=0表示一条直线方程，且(A,B)为该直线的一个法向量，点(x₀,y₀)到直线的距离为，写出空间一个类似的结论

4、平面内，若射线OM、ON上分别存在点M₁、M₂与点N₁、N₂，则三角形面积比=；类比到空间，若不在同一平面的射线OP、OQ、OQ上分别存在点P₁和P₂,Q₁和Q₂，R₁和R₂，则体积比=______________

[答案]

1、平行六面体的体对角线交于一点且互相平分

2、，，也成等比数列，且公差为q¹⁰⁰

3、空间直角坐标系O-xyz中，A、B、C不全为0，则Ax+By+Cz+D=0表示一个平面方程，且(A,B,C)为该平面的一个法向量，点(x₀,y₀,z₀)到平面的距离为

4、

                           第三课时   演绎推理

教学目标：

教学重点：三段论

教学难点：推理过程。

教学过程：

一．复习:合情推理

归纳推理    从特殊到一般

类比推理    从特殊到特殊

从具体问题出发??观察、分析比较、联想??归纳。类比??提出猜想

  观察与思考

1所有的金属都能导电

铜是金属,   

所以，铜能够导电

2.一切奇数都不能被2整除,         

(2100+1)是奇数，

 所以，  (2100+1)不能被2整除.

3.三角函数都是周期函数,         

tan  是三角函数,  

所以，tan 是 周期函数。

提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？

二．学生活动 ：

1.所有的金属都能导电 ←――――大前提

铜是金属,    ←-----小前提

所以，铜能够导电   ←??结论

2.一切奇数都不能被2整除 ←――――大前提

(2100+1)是奇数，←??小前提

 所以，  (2100+1)不能被2整除. ←???结论

3.三角函数都是周期函数,    ←――大前提

tan  是三角函数, ←??小前提

所以，tan 是 周期函数。←??结论

三，建构数学

  演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

１．演绎推理是由一般到特殊的推理；

２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　

　⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　

⑵小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　

⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

三段论的基本格式

M―P（M是P）   （大前提）

S―M（S是M）    （小前提）

S―P（S是P）     （结论）

3.三段论推理,只要前提正确，推理形式也正确，结论必然正确

四，数学运用

例1、三角形ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，∠BFD=∠A，DE∥BA，

求证：ED=AF

（教材例1）

  写成推理模式说明有几个推理就有几个三段论

练习1：

练习2：教材P71---3

 例2、已知a,b,m为正实数，b<a，求证<并说明包含几个三段论

[法一]见教材解答

[法二]作差比较

练习：.已知lg2=m,计算lg0.8，并说明其中含有几个三段论推理

解 （1）  lgan=nlga(a>0)---------大前提

lg8=lg23――――小前提

lg8=3lg2――――结论

  lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)――大前提

lg0.8=lg(8/10)――－小前提

lg0.8=lg(8/10)――结论

例3.下面推理正确吗？为什么？    “指数函数是单调增函数，因为y=0.5^x是指数函数，所以y=0.5^x是单调增函数”

   解答：不对，大前提不正确

  说明：在演绎推理中，只要两个前提正确，推理形式也是正确的，则结论是正确的

练习：第71页 练习第4题

五 回顾小结：

1、演绎推理具有如下特点:见课本。

2、演绎推理错误的主要原因是： 1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件（推理形式不正确）。

六、作业：第78页  3，4，6，7。

[补充习题]

1、已知数列{a_n}的首项a₁=a≠，且a_n+1=,记b_n=a_2n-1-,n=1,2,3,…,

(1)求a₃,a₂；    (2)判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明

   2、已知f(x)=x⁶-x³+x²-x+1求证对任意实数x,f(x)>0恒成立

   3、设实数a、b、c成等比数列，非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项，求证：=2

   4、AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证BC⊥平面PAC，并说明含有几个三段论推理

   [答案]

  1、a₂=a+,a₃=,{b_n}是等比数列，证明b_n+1=a_2n+1-=-=+)-=

  2、x<0时,f(x)>0显然成立；0<x≤1时，f(x)=x⁶+x²(1-x)+1-x>0；x>1时，f(x)=x³(x³-1)+x(x-1)+1>0。总之f(x)>0恒成立

  3、4略

第四课时        推理案例赏识

教学目标：

教学重点：了解合情推理与演绎推理的混合应用

教学难点：形成完整的思路。

教学过程：

二、案例：

例1 、正整数平方和公式的推导。

提出问题（n）＝＝？（见教材说明）

说明：一般的一个数学发现的过程是：计算猜想证明的思路

练习1：求

练习2：f(x)=x+e^x对一切实数a,b，a+b≤0，说明f(a)+f(b)与f(-a)+f(-b)的大小关系，并证明思考：练习2中，f(x)解析式是否必要？修改成什么条件也可以比较大小？

例2、台体体积公式的推导（见教材P74―P76）

练习：直线P₁P₂上有点P，若=λ，称P分的比为λ，则有，类比此结论，对于一个梯形ABCD（上底、下底分别为DC、AB），EF分梯形的高的自上而下的比为λ，求EF（用两底AB、CD表示），并证明;

再次类比，空间一个台体，上下底面面积分别为S₁、S₂，一个平行于底面的截面分高自上而下的比为λ，截面面积S与S₁、S₂满足关系______

(EF=,)

说明：（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。

（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。

（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。

[补充习题]

1、在三角形ABC中，三个内角A、B、C对应边分别为a,b,c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，判断三角形ABC的形状，并证明

2、函数f(x)满足对任意非零实数a及任意x有f(x+a)=,判断f(x)是否为周期函数，如果是求出它的一个周期

3、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题

[答案]1、等边三角形；2、4|a|是其一个周期；3、①③④②；②③④①