摘要：13．如图.P是以F1.F2为焦点的双曲线C:-＝1上的一点.已知 (1)求双曲线的离心率e, (2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1.P2两点.若.求双曲线C的方程． 解:(1)利用向量的垂直及双曲线的定义建立等式即可确定.(2)运用向量的坐标运算.利用待定系数法建立方程组即可解得． (1)由得.即△F1PF2为直角三角形．设＝2r.于是有(2r)2+r2＝4c2和2r-r＝2a.也就是5×(2a)2＝4c2.所以e＝. (2)＝＝2.可设P1(x1,2x1).P2(x2.-2x2).P(x.y).则＝x1x2-4x1x2＝-. 所以x1x2＝.① 由2即x＝.y＝,又因为点P在双曲线-＝1上.所以-＝1.又b2＝4a2.代入上式整理得x1x2＝a2②.由①②得a2＝2.b2＝8.故所求双曲线方程为-＝1. 评析:平面向量与平面解析几何的综合考查是近几年高考考查的热点问题.往往通过向量的运算及其几何意义来解决解析几何问题．在解析几何中当直线与曲线相交时.对于交点坐标.若直接求解有时非常复杂.故往往设而不求.即设出点的坐标.利用点在曲线上或其满足的性质求解．本题借助直线与双曲线相交.利用设而不求的思想.结合向量的坐标运算及韦达定理简捷求出．

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