摘要：11．A.B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点.且OA⊥OB. (1)求A.B两点的横坐标之积和纵坐标之积, (2)求证:直线AB过定点, (3)求弦AB中点P的轨迹方程, (4)求△AOB面积的最小值． 解:设A(x1.y1).B(x2.y2).中点P(x0.y0)． (1)kOA＝.kOB＝. ∵OA⊥OB.∴kOA·kOB＝-1.∴x1x2+y1y2＝0. ∵y＝2px1.y＝2px2.∴·+y1y2＝0. ∵y1≠0.y2≠0.∴y1y2＝-4p2.∴x1x2＝4p2. (2)∵y＝2px1.y＝2px2. ∴(y1-y2)(y1+y2)＝2p(x1-x2)． ∴＝.∴kAB＝. ∴直线AB:y-y1＝(x-x1)． ∴y＝+y1-. ∴y＝+. ∵y＝2px1.y1y2＝-4p2.∴y＝+. ∴y＝(x-2p)． ∴AB过定点(2p,0)． (3)如图.设OA:y＝kx.代入y2＝2px得:x＝0或x＝. ∴A. 同理.以-代k得B(2pk2.-2pk)． 设中点坐标P(x0.y0). ∴. ∵k2+＝2+2.∴＝2+2. 即y＝px0-2p2. ∴中点P的轨迹方程为y2＝px-2p2. (4)设M(2p,0).S△AOB＝S△AOM+S△BOM＝|OM|(|y1|+|y2|)＝p(|y1|+|y2|)≥2p＝4p2.当且仅当|y1|＝|y2|＝2p时.等号成立． 评析:解决直线与抛物线的有关问题时要注意以下几点:①设抛物线上的点为(x1.y1).(x2.y2),②因为(x1.y1).(x2.y2)都在抛物线上.故满足y＝2px1.y＝2px2,③利用yy＝4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.

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