3.重难点:.

(1) 向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别

问题1:  两个向量的数量积是一个实数,向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。

例:规定,·=·=0(不是零向量,注意与λ=(λ∈R)区别)

(2)向量数量积与实数相关概念的区别

问题2: 表示方法的区别

 数量积的记号是,不能写成,也不能写成(所以有时把数量积称为“点乘”,记号另外有定义,称为“叉乘”).

问题3:相关概念及运算的区别

⑴ 若a、b为实数,且 a·b=0,则有a=0或b=0,但·=0却不能得出==.因为只要就有·=0,而不必==

⑵ 若a、b、c∈R,且a≠0,则由ab=ac可得b=c,但由·=·≠0却不能推出=.因若夹角为θ1夹角为θ2,则由·=·得||·||cosθ1=||·||cosθ2及||≠0,只能得到||cosθ1=||cosθ2,即方向上投影相等,而不能得出=(见图).

⑶ 若a、b、c∈R,则a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量,则(··(·)都是无意义的,这是因为··是数量,已不再是向量了,而数量与向量是没有点乘定义的.同时,(·)(·),这是因为数量·与向量相乘是与共线的向量,而数量·与向量相乘则是与共线的向量,所以一般二者是不等的.这就是说,向量的数量积是不满足结合律的.

⑷ 若a、b∈R,则|a·b|=|a|·|b|,但对于向量,却有|·|≤||·||,等号当且仅当时成立.这是因为|·|=||·||·|cosθ|而|cosθ|≤1.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一:平面向量数量积的运算

题型1. 求数量积、求模、求夹角

[例1]

[解题思路]: 直接用定义或性质计算

解析:

 

[例2]

[解题思路]: 考虑公式cosq =

解析:

 

 

[名师指引]注意公式,当知道的模及它们的夹角可求的数量积,反之知道的数量积及的模则可求它们的夹角。

题型2。利用数量积解决垂直问题

[例3] 若非零向量满足,证明:

 [解题思路]: 只须证明

解析: [证明]由得:

展开得:,故

[例4] 在△ABC中,=(2, 3),=(1, k),且△ABC的一个内角为直角,

   求k

[解题思路]:注意分情况计论

解析:当A = 90°时,×= 0,∴2×1 +3×k = 0  ∴k = 

当B = 90°时,×= 0,=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)

∴2×(-1) +3×(k-3) = 0  ∴k = 

当C= 90°时,×= 0,∴-1 + k(k-3) = 0  ∴k =

[名师指引]是一个常用的结论。

[新题导练]

 0  49651  49659  49665  49669  49675  49677  49681  49687  49689  49695  49701  49705  49707  49711  49717  49719  49725  49729  49731  49735  49737  49741  49743  49745  49746  49747  49749  49750  49751  49753  49755  49759  49761  49765  49767  49771  49777  49779  49785  49789  49791  49795  49801  49807  49809  49815  49819  49821  49827  49831  49837  49845  447348 

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