22、(1)提示：∵PQ∥FN，PW∥MN　 ∴∠QPW =∠PWF，∠PWF =∠MNF 　∴∠QPW =∠MNF

同理可得：∠PQW =∠NFM或∠PWQ =∠NFM　　　 ∴△FMN∽△QWP

(2)当时，△PQW为直角三角形；

当0≤x<，<x<4时，△PQW不为直角三角形。(3)

22．(2011年广东省)如图(1)，(2)所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上)，当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒。试解答下列问题：

(1)说明△FMN∽△QWP；

(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段)。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？

当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

(3)问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。

24．(本小题满分l4分)

解：(1)∵由ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，

点的坐标为(3，0)。

所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)， (3，0)设抛物线的解析式为，可得

　 解得

　 ∴过点C，A，的抛物线的解析式为。

(2)因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°。

∴,又.

,∴ 又,

∴,又△ABO的周长为。

∴的周长为。

(3)连接OM，设M点的坐标为，

∵点M在抛物线上，∴。

∴

=

=

因为，所以当时，。△AMA’的面积有最大值

所以当点M的坐标为()时，△AMA’的面积有最大值，且最大值为。

28. (1)∵，∴，。

∴，。·························1分

又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，求得。

∴抛物线的解析式为。················3分

(2)设点的坐标为(，0)，过点作轴于点(如图(1))。

∵点的坐标为(，0)，点的坐标为(6，0)，

∴，。···························4分

∵，∴。

∴，∴，∴。·················5分

∴

　···························6分

。

∴当时，有最大值4。

此时，点的坐标为(2，0)。·····································7分

(3)∵点(4，)在抛物线上，

∴当时，，

∴点的坐标是(4，)。

②　　 如图(2)，当为平行四边形的边时，，

∵(4，)，∴错误！链接无效。。

∴，。 ···························9分

③　　 如图(3)，当为平行四边形的对角线时，设，

则平行四边形的对称中心为(，0)。 ··················10分

∴的坐标为(，4)。

把(，4)代入，得。

解得 。

，。·························12分

(芜湖2011)本小题满分14分)

平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形。

(1)若抛物线过点C，A，，求此抛物线的解析式；

(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长；

(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。

24、(1)解法1：由题意易知：△BOC∽△COA

　　　　　　　 ∴，即

　　　　　　　 ∴

　　　　　　　 ∴点C的坐标是(0，)

　　　　　　　 由题意，可设抛物线的函数解析式为

　　　　　　　 把A(1，0)，B(，0)的坐标分别代入，得

　　 　　　　　解这个方程组，得

　　　　　　　 ∴抛物线的函数解析式为

　 解法2：由勾股定理，得

　　　　　 又∵OB=3，OA=1，AB=4

　　　　　 ∴

　　　　　　 ∴点C的坐标是(0，)

　　　　　　 由题意可设抛物线的函数解析式为，把C(0，)代入

　　　　　　 函数解析式得

　　　　　　 所以，抛物线的函数解析式为

(2)解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF

　　　　　 理由如下：

　　　　　 可求得直线的解析式为，直线的解析式为

　　　　　 抛物线的对称轴为直线

　　　　　 由此可求得点K的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，点E的坐标为(，)，点F的坐标为(，0)

　　　　　 ∴KD=，DE=，EF=

　　　　　 ∴KD=DE=EF

解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF

　　　 理由如下：

　　　 由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，则可得

　　　 ，，

　　　 由顶点D坐标(，)得

　　　 ∴KD=DE=EF=

(3)解法1：(i)以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点，由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点

　　　　　 ∴点的坐标为(，)，此时△为等腰三角形

　　　　　 (ii)当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形

　　　　　 (iii)作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且，可知l经过点D，

　　　　　 ∴KD=DC

　　　　　 此时，有点即点D坐标为(，)，使△为等腰三角形；

　　　　　 综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。

解法2：当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。

　　　 理由如下：

　　　 (i)连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为(，)

　　　 又∵点C的坐标为(0，)，则GC∥AB

　　　 ∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形

　　　 ∴△CGK为正三角形

　　　 ∴当与抛物线交于点G，即∥AB时，符合题意，此时点的坐标为(，)

　　　 (ii)连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形

　　　 ∴当过抛物线顶点D时，符合题意，此时点坐标为(，)

　　　 (iii)当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点

A、C、K在同一直线上，不能构成三角形

　　　 综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三

角形。

(2011年凉山州)如图，抛物线与轴交于(，0)、(，0)两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。

(1)求抛物线的解析式；

(2)点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；

(3)点在(1)中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。

24、(本题12分)

已知两直线，分别经过点A(1，0)，点B，

并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有

，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线

交于点K，如图所示。

(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；

依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。

(3)当直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。

28. 解⑴①，，，2，，，．

函数的图象如图．

②本题答案不唯一，下列解法供参考．

当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2．

③

=

=

=

当=0，即时，函数的最小值为2．

⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为．

浙江省2011年初中毕业生学业考试(衢州卷)

27. 解⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴，∴CD=BD．

∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．

∴E是△ABC的自相似点．

⑵①作图略．

作法如下：(i)在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；

(ii)在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．

则P为△ABC的自相似点．

②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，．

∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．

∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，

∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．

∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．

∴．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．

26.解⑴直线与⊙P相切．

如图，过点P作PD⊥AB, 垂足为D．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=6cm，BC=8cm，

∴．∵P为BC的中点，∴PB=4cm．

∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC．

∴,即，∴PD =2.4(cm) ．

当时，(cm) 　

∴，即圆心到直线的距离等于⊙P的半径．

∴直线与⊙P相切．

⑵ ∠ACB＝90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径．∴．

连接OP．∵P为BC的中点，∴．

∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切．

∴或，∴=1或4．　

∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．

24.解：

(1)设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，

　，，

，(，)　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……… 2分

将(，)代入抛物线得，.　　　　　　　　　　 ……… 3分

(2)解法一：过点作轴于点，

点的横坐标为， (1，)，　　　　　　　　　　　　　　　　 ……… 4分

.　 又 ，易知，又，

△∽△，　 　　　　　　　……… 5分

设点(，)()，则，，

，即点的横坐标为.　　　　 ……… 6分

解法二：过点作轴于点，

点的横坐标为， (1，)，　 ……… 4分

　，易知，

，　　　　　　　　　 ……… 5分

设点(-，)()，则，，

，即点的横坐标为.　　　　　　　　　　　　 ……… 6分

解法三：过点作轴于点，

点的横坐标为， (1，)，　 ……… 4分

设(-，)()，则

，，，　

　，

，

解得：，即点的横坐标为.　　　　　　　　　　　　 ……… 6分

(3)解法一：设(，)()，(，)()，

设直线的解析式为：，　　 则，……… 7分

得，，

　　　　　　　 ……… 8分

又易知△∽△，，，……… 9分

.由此可知不论为何值，直线恒过点(，)………10分

(说明：写出定点的坐标就给2分)

解法二：设(，)()，(，)()，

直线与轴的交点为，根据，可得

，

化简，得. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……… 8分

又易知△∽△，，，……… 9分为固定值.故直线恒过其与轴的交点(,)……… 10分

说明：的值也可以通过以下方法求得.

由前可知，，，，

由，得：，

化简，得.

本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准

(南京市2011年)26．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．

⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；

⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

27．(9分)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．

⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹)；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

28．(11分)

问题情境

已知矩形的面积为a(a为常数，a＞0)，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

数学模型

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．

探索研究

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．

①　　 填写下表，画出函数的图象：

②　　 　

x	……				1	2	3	4	……
y	……								……

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大(小)值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．

解决问题

⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．