4. (2011浙江绍兴，23，12分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

(1)特殊情况，探索结论

当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：

　　　 (填“>”,“<”或“=”).

(2)特例启发，解答题目

解：题目中，与的大小关系是：　 (填“>”,“<”或“=”).理由如下：如图2，过点作，交于点.

(请你完成以下解答过程)

(3)拓展结论，设计新题

在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且.若的边长为1，，求的长(请你直接写出结果).

[答案](1)= .

(2)=.

方法一：如图，等边三角形中，

是等边三角形，

又

.

方法二：在等边三角形中，

而由是正三角形可得

(3)1或3.

3. (2011浙江衢州，23,10分)是一张等腰直角三角形纸板，.

要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.

图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则　　　 　；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，　　　　 　.

求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.

[答案](1)解法1：如图甲，由题意得.如图乙，设，则由题意，得

又

甲种剪法所得的正方形的面积更大

说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为的中点，

解法2：如图甲，由题意得

如图乙，设

甲种剪法所得的正方形的面积更大

(2)

(3)

(3)解法1：探索规律可知：‘

剩余三角形的面积和为：

解法2：由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为

第二次剪取后剩余三角形面积和为

第三次剪取后剩余三角形面积和为

…

第十次剪取后剩余三角形面积和为

2. (2011福建福州，21，12分)已知,矩形中,,, 的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.

　 (1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；

(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,

①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.

②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.

[答案](1)证明:①∵四边形是矩形

∴∥

∴,

∵垂直平分,垂足为

∴

∴≌

∴

∴四边形为平行四边形

又∵

∴四边形为菱形

②设菱形的边长,则

在中,

由勾股定理得,解得

∴

(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形

　　 ∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,

∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒

∴,

∴,解得

∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.

②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.

分三种情况:

i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得

ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得

iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得

综上所述,与满足的数量关系式是　

1. (2011江西南昌，25，10分)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=(0°＜＜90°).现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.

活动一：

如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒.

数学思考：

(1)小棒能无限摆下去吗？答：　　　　　 .(填“能”或“不能”)

(2)设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1.

①=　　 度；

②若记小棒A_2n-1A2n的长度为a_n(n为正整数，如A₁A₂=a₁,A₃A₄=a₂,),求此时a₂，a₃的值，并直接写出a_n(用含n的式子表示).

图甲

活动二：

如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第1根小棒，且A₁A₂= AA₁.

数学思考：

(3)若已经向右摆放了3根小棒，则=　　　　 ，=　　　　 ，=　　　　 ；(用含的式子表示)

(4)若只能摆放4根小棒，求的范围.

图乙

[答案]解：(1)能

(2)①22.5°

②方法一：

∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1， A₁A₂⊥A₂A₃，∴A₁A₃=，AA₃=1+.

又∵A₂A₃⊥A₃A₄，∴A₁A₂∥A₃A₄.同理：A₃A₄∥A₅A₆，∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，

∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆，∴a₂= A₃A₄=AA₃=1+,a₃=AA₃+A₃A₅=a₂+A₃A₅.∵A₃A₅=a₂,

∴a₃=A₅A₆=AA₅=a₂+a₂=(+1)².

方法二：

∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1， A₁A₂⊥A₂A₃，∴A₁A₃=，AA₃=1+.

又∵A₂A₃⊥A₃A₄，∴A₁A₂∥A₃A₄.同理：A₃A₄∥A₅A₆，∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，

∴a₂=A₃A₄=AA₃=1+,又∵∠A₂A₃A₄=∠A₄A₅A₆=90°，∠A₂A₄A₃=∠A₄A₆A₅，∴△A₂A₃A₄∽△A₄A₅A₆，

∴，∴a₃==(+1)².

a_n=(+1)^n-1.

(3)

(4)由题意得，∴15°＜≤18°.

2. (2011安徽芜湖，9,4分)如图，从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为(　　 ).

A．　　 B．　　　 C．　　　 D．

[答案]D

二 填空题

三 解答题

1. (2011广东广州市，8，3分)如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是( 　　)

A．　　　　B．　　　　　　　 C．　　　　D．

[答案]D

14. (2011浙江省，20，8分)据媒体报道：某市四月份空气质量优良，高举全国榜首，青春中学九年级课外兴趣小组据此提出了“今年究竟能有多少天空气质量达到优良”的问题，他们高举国家环保总局所公布的空气质量级别表(见表1)以及市环保监测站提供的资料，从中随机抽取了今年1-4月份中30天空气综合污染指数，统计数据如下：

表I：空气质量级别表

空气综合污染指数

30,32,40,42,45,45,77,83,85,87,90,113,127,153,167

38,45,48,53,57,64,66,77,92,98,130,184,201,235,243

请根据空气质量级别表和抽查的空气综合污染指数，解答以下问题：

(1) 填写频率分布表中未完成的空格；

分组	频数统计	频数	频率
0~50			0.30
51~100		12	0.40
101~150
151~200		3	0.10
201~250		3	0.10
合计	30	30	1.00

(2) 写出统计数据中的中位数、众数；

(3)请根据抽样数据，估计该市今年(按360天计算)空气质量是优良(包括Ⅰ、Ⅱ级)的天数．

[答案](1)

分组	频数统计	频数	频率
0~50		9	0.30
51~100		12	0.40
101~150		3	0.10
151~200		3	0.10
201~250		3	0.10
合计	30	30	1.00

(2) 中位数是 80　 、众数是　 45　 。

(3) ∵

∴空气质量优良(包括Ⅰ、Ⅱ级)的天数是252天．

12. (2011广东省，18，7分)李老师为了解班里学生的作息时间，调查班上50名学生上学路上花费的时间，他发现学生所花时间都少于50分钟，然后将调查数据整理，作出如下频数分布直方图的一部分(每　 组数据含最小值不含最大值)．请根据该频数分布直方图，回答下列问题：

　 (1)此次调查的总体是什么？

　 (2)补全频数分布直方图；

　 (3)该班学生上学路上花费时间在30分钟以上(含30分钟)的人数占全班人数的百分比是多少？

[解](1)此次调查的总体是：班上50名学生上学路上花费的时间的全体.

　 (2)补全图形，如图所示：

(3)该班学生上学路上花费时间在30分钟以上的人数有5人，总人数有50，

5÷50=0.1=10%

答：该班学生上学路上花费时间在30分钟以上的人数占全班人数的百分之10．

11. (2011山东聊城，19，8分)今年“世界水日”的主题是“城市用水：应对都市化挑战”．为了解城市居民用水量的情况，小亮随机抽查了阳光小区50户居民去年每户每月的用水量，将得到的数据整理并绘制了这50户居民去年每月总用水量的折线图和频数、频率分布表如下：

组　 别	频 数	频 率
350<x≤400	1
400<x≤450	1
450<x≤500	2
500<x≤550	a	b
550<x≤600	c	d
600<x≤650	1
650<x≤700	2

注：x表示50户居民月总用水量(m³)(1)表中的a＝________；d＝___________．

(2)这50户居民每月总用水量超过550m3的月份占全年月份的百分率是多少(精确到1%)？

(3)请根据折线统计图提供的数据，估计该小区去年每户居民平均月用水量是多少？

[答案](1)3，；(2)这50户居民月总用水量超过550m³的月份有5个，占全年月份的百分率为(5÷12)×100%＝42%

(3)(378+641+456+543+550+667+693+600+574+526+423)÷50÷12＝109m³