9. (2011浙江丽水,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OBAB,并延长AB至点D,使DBAB,过点Dx轴垂线,分别交x轴、直线OB于点EF,点E为垂足,连结CF.

(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长;

(2)当DE=8时,求线段EF的长;

(3)在点B运动过程中,是否存在以点ECF为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.

[解](1)连结BC

     

A(10,0),∴OA=10,CA=5,

      ∵∠AOB=30°,

      ∴∠ACB=2∠AOB=60°,

      ∴的长==;

(2)连结OD

     

OA是⊙C的直径,∴∠OBA=90°,

      又∵AB= BD

      ∴OBAD的垂直平分线,

      ∴OD= OA=10,

      在Rt△ODE中,

      OE===6,

      ∴AE= AOOE =10-6=4,

      由∠AOB=∠ADE= 90°-∠OAB

      ∠OEF=∠DEA

      得△OEF∽△DEA

      ∴=,即=,∴EF=3;

   

(3)设OE=x

      ①当交点EOC之间时,由以点ECF为顶点的三角形与△AOB相似,

      有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,

EOC的中点,即OE=,

    

 ∴E1(,0);

      当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-xAE=10-x

     

CF//AB,有CF=AB

      ∵△ECF∽△EAD

      ∴=,即=,解得x=,

E2(,0);

②当交点EC的右侧时,

∵∠ECF>∠BOA

∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO

连结BE

     

BE为Rt△ADE斜边上的中线,

BE=AB=BD

∴∠BEA=∠BAO

∴∠BEA=∠ECF

CF//BE,∴=,

∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,

      ∴△CEF∽△AED,∴=,

      而AD=2BE,∴=,

即=,

解得x1=,x2=<0(舍去),

E3(,0);

③当交点EO的左侧时,

∵∠BOA=∠EOF>∠ECF

∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO

连结BE,得BE=AD=AB

      ∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA

CF//BE

∴=,

又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,

      ∴△CEF∽△AED,∴=,

      而AD=2BE,∴=,

∴=,解得x1=,x2=<0(舍去),

∵点Ex轴负半轴上,∴E4(,0),

综上所述:存在以点ECF为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为:

E1(,0)、E2(,0)、E3(,0)、E4(,0).

2.(2011浙江金华,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OBAB,并延长AB至点D,使DBAB,过点Dx轴垂线,分别交x轴、直线OB于点EF,点E为垂足,连结CF.

(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长;

(2)当DE=8时,求线段EF的长;

(3)在点B运动过程中,是否存在以点ECF为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)连结BC,

A(10,0), ∴OA=10 ,CA=5,

∵∠AOB=30°,

∴∠ACB=2∠AOB=60°,

∴弧AB的长=;   ……4分

(2)连结OD,

OA是⊙C直径,  ∴∠OBA=90°,

又∵AB=BD,

OBAD的垂直平分线,

OD=OA=10,

在Rt△ODE中,

OE=,

AE=AOOE=10-6=4,

由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA

得△OEF∽△DEA,

,即,∴EF=3;……4分

(3)设OE=x

①当交点EOC之间时,由以点ECF为顶点的三角形与△AOB相似有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点EOC中点,即OE=

E1(,0);

当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-x, AE=10-x

CFAB,有CF=,

∵△ECF∽△EAD,

,即,解得:,

E2(,0);

②当交点E在点C的右侧时,

∵∠ECF>∠BOA

∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO

连结BE

BE为Rt△ADE斜边上的中线,

BE=AB=BD,

∴∠BEA=∠BAO,

∴∠BEA=∠ECF,

CFBE,  ∴,

∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠,

∴△CEF∽△AED,  ∴,

AD=2BE,   ∴,

,  解得, <0(舍去),

E3(,0);

③当交点E在点O的左侧时,

∵∠BOA=∠EOF>∠ECF .

∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO

连结BE,得BE==AB,∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA,

CFBE,

,

又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠,

∴△CEF∽△AED,  ∴

AD=2BE,   ∴,

,   解得, <0(舍去),

∵点Ex轴负半轴上,  ∴E4(,0),

综上所述:存在以点ECF为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为:

(,0)、(,0)、(,0)、(,0).……4分

 0  49516  49524  49530  49534  49540  49542  49546  49552  49554  49560  49566  49570  49572  49576  49582  49584  49590  49594  49596  49600  49602  49606  49608  49610  49611  49612  49614  49615  49616  49618  49620  49624  49626  49630  49632  49636  49642  49644  49650  49654  49656  49660  49666  49672  49674  49680  49684  49686  49692  49696  49702  49710  447348 

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