摘要： (2011广东广州市.25.14分) 如图7.⊙O中AB是直径.C是⊙O上一点.∠ABC=45°.等腰直角三角形DCE中 ∠DCE是直角.点D在线段AC上． (1)证明:B.C.E三点共线, (2)若M是线段BE的中点.N是线段AD的中点.证明:MN=OM, (3)将△DCE绕点C逆时针旋转α后.记为△D1CE1(图8).若M1是线段BE1的中点.N1是线段AD1的中点.M1N1=OM1是否成立?若是.请证明,若不是.说明理由． [答案](1)∵AB为⊙O直径 ∴∠ACB=90° ∵△DCE为等腰直角三角形 ∴∠ACE=90° ∴∠BCE=90°+90°=180° ∴B.C.E三点共线． (2)连接BD.AE.ON． ∵∠ACB=90°.∠ABC=45° ∴AB=AC ∵DC=DE ∠ACB=∠ACE=90° ∴△BCD≌△ACE ∴AE=BD.∠DBE=∠EAC ∴∠DBE+∠BEA=90° ∴BD⊥AE ∵O.N为中点 ∴ON∥BD.ON=BD 同理OM∥AE.OM=AE ∴OM⊥ON.OM=ON ∴MN=OM (3)成立 证明:同(2)旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°-∠ACD1 所以仍有△BCD1≌△ACE1. 所以△ACE1是由△BCD1绕点C顺时针旋转90°而得到的.故BD1⊥AE1 其余证明过程与(2)完全相同．
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阅读下面材料，按要求完成后面作业。
三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
已知：△ABC中，AD是角平分线（如图1）， 求证：
=
。
三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
已知：△ABC中，AD是角平分线（如图1）， 求证：
=。 
分析：要证
=
，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似，现在B、D、C在一条直线，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。
在比例式
=
中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明
=
，就可转化证
=
。
（1）完成证明过程：
证明：
（2）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个即可）
答：用了：①____________；
②_____________。
（3）在上述分析和你的证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种：①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想
答：____________。
（4） 用三角形内角平分线定理解答问题：
如图2，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC之长。
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=，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似，现在B、D、C在一条直线，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。在比例式
=中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明=，就可转化证=。（1）完成证明过程：
证明：
（2）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个即可）
答：用了：①____________；
②_____________。
（3）在上述分析和你的证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种：①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想
答：____________。
（4） 用三角形内角平分线定理解答问题：
如图2，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC之长。
