摘要：如图.在平面直角坐标系中.点A.以OA为直径在第一象限内作半圆C.点B是该半圆周上的一动点.连结OB.AB.并延长AB至点D.使DB＝AB.过点D作x轴垂线.分别交x轴.直线OB于点E.F.点E为垂足.连结CF. (1)当∠AOB＝30°时.求弧AB的长, (2)当DE＝8时.求线段EF的长, (3)在点B运动过程中.是否存在以点E.C.F为顶点的三角形与△AOB相似.若存在.请求出此时点E的坐标,若不存在.请说明理由. 解:(1)连结BC, ∵A, ∴OA=10 ,CA=5, ∵∠AOB=30°, ∴∠ACB=2∠AOB=60°, ∴弧AB的长=; --4分 (2)连结OD, ∵OA是⊙C直径, ∴∠OBA=90°, 又∵AB=BD, ∴OB是AD的垂直平分线, ∴OD=OA=10, 在Rt△ODE中. OE=, ∴AE=AO-OE=10-6=4, 由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB.∠OEF=∠DEA. 得△OEF∽△DEA, ∴,即.∴EF=3,--4分 (3)设OE=x. ①当交点E在O.C之间时.由以点E.C.F为顶点的三角形与△AOB相似.有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB.当∠ECF=∠BOA时.此时△OCF为等腰三角形.点E为OC中点.即OE=. ∴E1(.0), 当∠ECF=∠OAB时.有CE=5-x, AE=10-x. ∴CF∥AB,有CF=, ∵△ECF∽△EAD, ∴,即,解得:, ∴E2(.0); ②当交点E在点C的右侧时. ∵∠ECF＞∠BOA. ∴要使△ECF与△BAO相似.只能使∠ECF=∠BAO. 连结BE. ∵BE为Rt△ADE斜边上的中线. ∴BE=AB=BD, ∴∠BEA=∠BAO, ∴∠BEA=∠ECF, ∴CF∥BE, ∴, ∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠. ∴△CEF∽△AED, ∴, 而AD=2BE, ∴, 即, 解得, ＜0. ∴E3(.0); ③当交点E在点O的左侧时. ∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF . ∴要使△ECF与△BAO相似.只能使∠ECF=∠BAO 连结BE.得BE==AB.∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA, ∴CF∥BE, ∴, 又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠. ∴△CEF∽△AED, ∴. 而AD=2BE, ∴, ∴, 解得, ＜0, ∵点E在x轴负半轴上, ∴E4(.0), 综上所述:存在以点E.C.F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为: (.0).(.0).(.0).(.0)．--4分

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