摘要： 如图.在平面直角坐标系中.点A.以OA为直径在第一象限内作半圆C.点B是该半圆周上的一动点.连结OB.AB.并延长AB至点D.使DB＝AB.过点D作x轴垂线.分别交x轴.直线OB于点E.F.点E为垂足.连结CF. (1)当∠AOB＝30°时.求弧AB的长, (2)当DE＝8时.求线段EF的长, (3)在点B运动过程中.是否存在以点E.C.F为顶点的三角形与△AOB相似.若存在.请求出此时点E的坐标,若不存在.请说明理由. [解](1)连结BC. ∵A.∴OA=10.CA=5. ∵∠AOB=30°. ∴∠ACB=2∠AOB=60°. ∴的长==, (2)连结OD. ∵OA是⊙C的直径.∴∠OBA=90°. 又∵AB= BD. ∴OB是AD的垂直平分线. ∴OD= OA=10. 在Rt△ODE中. OE===6. ∴AE= AO-OE =10-6=4. 由∠AOB=∠ADE= 90°-∠OAB. ∠OEF=∠DEA. 得△OEF∽△DEA. ∴=.即=.∴EF=3, (3)设OE=x. ①当交点E在O.C之间时.由以点E.C.F为顶点的三角形与△AOB相似. 有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB.当∠ECF=∠BOA时.此时△OCF为等腰三角形. 点E为OC的中点.即OE=. ∴E1(.0), 当∠ECF=∠OAB时.有CE=5-x.AE=10-x. ∴CF//AB.有CF=AB. ∵△ECF∽△EAD. ∴=.即=.解得x=. ∴E2(.0), ②当交点E在C的右侧时. ∵∠ECF>∠BOA ∴要使△ECF与△BAO相似.只能使∠ECF=∠BAO. 连结BE. ∵BE为Rt△ADE斜边上的中线. ∴BE=AB=BD. ∴∠BEA=∠BAO. ∴∠BEA=∠ECF. ∵CF//BE.∴=. ∵∠ECF=∠BAO.∠FEC=∠DEA=Rt∠. ∴△CEF∽△AED.∴=. 而AD=2BE.∴=. 即=. 解得x1=.x2=<0. ∴E3(.0), ③当交点E在O的左侧时. ∵∠BOA=∠EOF>∠ECF ∴要使△ECF与△BAO相似.只能使∠ECF=∠BAO. 连结BE.得BE=AD=AB. ∠BEA=∠BAO. ∴∠ECF=∠BEA. ∴CF//BE. ∴=. 又∵∠ECF=∠BAO.∠FEC=∠DEA=Rt∠. ∴△CEF∽△AED.∴=. 而AD=2BE.∴=. ∴=.解得x1=.x2=<0. ∵点E在x轴负半轴上.∴E4(.0). 综上所述:存在以点E.C.F为顶点的三角形与△AOB相似.此时点E坐标为: ∴E1(.0).E2(.0).E3(.0).E4(.0).

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