3. (2011江苏连云港，4，3分)关于反比例函数的图象，下列说法正确的是( 　　)

A．必经过点(1，1)　　　　　　 B．两个分支分布在第二、四象限　　　　　　　

C．两个分支关于x轴成轴对称　　 D．两个分支关于原点成中心对称

[答案]D

2．(2011湖南邵阳，5，3分)已知点(1,1)在反比例函数(k为常数，k≠0)的图像上，则这个反比例函数的大致图像是(　 )

[答案]C提示：反比例函数过第一象限(也可由点(1,1)求得k=1)，故选C。

1. (2011广东汕头，6，4分)已知反比例函数的图象经过(1，－2)．则　　　 ．

[答案]－2

21. (2011湖北宜昌，24，11分)已如抛物线y = ax²+bx+c 与直线y=m+n 相交于两点，这两点的坐标分别是(0，)和(m-b，m² – mb + n，其中a，b,c,m，n为实数，且a，m不为0.

(1)求c的值；

(2)设抛物线y = ax²+bx+c与轴的两个交点是(，0)和(，0)，求的值；

(3)当时，设抛物线y = ax²+bx+c与轴距离最大的点为P(，)，求这时的最小值.

[答案]解:(1)∵(0，)在y＝ax²+bx+c上，∴　＝a×0²+b×0+c，∴　c＝.(1分) (2)又可得　n＝。∵　点(m－b，m²－mb+n)在y＝ax²+bx+c上，∴　m²－mb＝a(m－b)²+b(m－b)，∴(a－1)(m－b)²＝0，　(2分)若(m－b)＝0，则(m－b，　m2－mb+n)与(0，)重合，与题意不合．∴　a＝1．(3分，只要求出a＝1，即评3分)

∴抛物线y＝ax²+bx+c，就是y＝x²+bx．△＝b²－4ac＝b²－4×()＞0，(没写出不扣分)∴抛物线y＝ax²+bx+c与x轴的两个交点的横坐标就是关于x的二次方程0＝ax²+bx+c的两个实数根，∴由根与系数的关系，得x₁x₂＝．(4分) (3)抛物线y＝x²+bx的对称轴为x＝，最小值为．(没写出不扣分)设抛物线y＝x²+bx在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H，在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h．

①　 当<－1，即b＞2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是(1，y_o)，∴｜H｜＝y_o＝+b＞，　(5分)，在x轴下方与x轴距离最大的点是(－1，yo)，∴｜h｜＝｜y_o｜＝｜－b｜＝b－＞，　(6分)，∴｜H｜＞｜h｜．∴这时｜y_o｜的最小值大于 (7分)

②　当－1≤≤0，即0≤b≤2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是(1，yo)，∴｜H｜＝y_o＝+b≥，当b＝0时等号成立.在x轴下方与x轴距离最大点的是　(，　)，∴｜h｜＝｜｜＝≥，当b＝0时等号成立.∴这时｜y_o｜的最小值等于.(8分) ③　当0＜≤1，即－2≤b＜0时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1，y_o)，∴｜H｜＝y_o＝1+(－1)b－＝－b＞，在x轴下方与x轴距离最大的点是　(，)，∴｜h｜＝｜y_o｜＝｜｜＝＞12. ∴　这　时　｜y_o｜的　最　小　值　大　于.(9分)

④　当1＜，即b＜－2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1，y_o)， ∴｜H｜＝－b＞，在x轴下方与x轴距离最大的点是(1，y_o)，∴｜h｜＝｜+b｜＝－(b+)＞，∴｜H｜＞｜h｜,∴这时｜y_o｜的最小值大于　(10分) 综上所述，当b＝0，x₀＝0时，这时｜y_o｜取最小值，为｜y_o｜＝.　(11分)

20．(2011湖北荆州，22，9分)(本题满分9分)如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴是，B(4,2)，一次函数的图象平分它的面积，关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值.

第22题图

[答案] 解：过B作BE⊥AD于E，连结OB、CE交于 点P，

∵P为矩形OCBE的对称中心，则过P点的直线平分矩形OCBE的面积.

∵P为OB的中点，而B(4，2)　∴P点坐标为(2，1)

在Rt△ODC与Rt△EAB中，OC＝BE，AB＝CD　

∴Rt△ODC≌Rt△EAB(HL)，

∴S_△ODC?＝S_△EBA?

∴过点(0，-1)与P(2，1)的直线即可平分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-1

∴2k-1=1，∴k=1　

又∵的图象与坐标轴只有两个交点，故

①当m＝0时，y＝-x+1,其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)

②当m≠0时，函数的图象为抛物线，且与y轴总有一个交点(0，2m+1)

若抛物线过原点时，2m+1=0，即m=，此时△＝(3m+1)²-4m(2m+1)=＞0　

∴抛物线与x轴有两个交点且过原点，符合题意. 若抛物线不过原点，且与x轴只有一个交点，也合题意，　 此时△′＝(3m+1)²-4m(2m+1)=0

解之得：m₁=m₂=-1　 综上所述，m的值为m=0或或-1.

19. (2011湖南湘潭市，25，10分)(本题满分10分)

如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C(3,0).

⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

[答案]解：(1)设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c。

∵直线交轴于A点，交轴于B点，

∴A点坐标为(-1,0)、B点坐标为(0,3).

又∵抛物线经过A、B、C三点，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．

(2)∵y=-x²+2x+3= ，∴该抛物线的对称轴为x=1．

设Q点坐标为(1，m)，则，又.

当AB=AQ时， ，解得：，

∴Q点坐标为(1，)或(1，)；

当AB=BQ时，，解得：，

∴Q点坐标为(1，0)或(1，6)；

当AQ=BQ时，，解得：，

∴Q点坐标为(1，1)．

∴抛物线的对称轴上是存在着点Q(1，)、(1，)、(1，0)、(1，6)、(1，1)，使△ABQ是等腰三角形．

18. (2010湖北孝感，25，2分)如图(1)，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为(m,0)，其中m＞0.

(1)求点E、F的坐标(用含m的式子表示)；(5分)

(2)连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；(4分)

(3)如图(2)，设抛物线y=a(x－m－6)²+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值. (5分)

[答案]解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.

由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.

在Rt△ABF中，BF=.

∴FC=4.

在Rt△ECF中，4²+(8-x)²=x²，解得x=5.

∴CE=8-x=3.

∵B(m，0),∴E(m+10,3),F(m+6,0).

(2)分三种情形讨论：

若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.

若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.

若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，

∴(m+6)²= m²+64，解得m=.

综合得m=6或4或.

(3)由(1)知A(m,8)，E(m+10,3).

依题意，得，

解得

∴M(m+6，﹣1).

设对称轴交AD于G.

∴G(m+6,8)，∴AG=6，GM=8－(﹣1)=9.

∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，

∴∠OAB=∠MAG.

又∵∠ABO=∠MGA=90°，

∴△AOB∽△AMG.

∴，即.

∴m=12.

17. (2011贵州安顺，27，12分)如图，抛物线y=x²+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(一1，0)．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

[答案](1)∵点A(-1，0)在抛物线y=x² + bx-2上，∴× (-1 )² + b× (-1) –2 = 0，解得b =

∴抛物线的解析式为y=x²-x-2. y=x²-x-2 = ( x² -3x- 4 ) =(x-)²-,

∴顶点D的坐标为 (, -).

(2)当x = 0时y = -2,　　　 ∴C(0，-2)，OC = 2。

当y = 0时，　 x²-x-2 = 0，　　　 ∴x₁ = -1, x₂ = 4,　　 ∴B (4,0)

∴OA = 1,　　 OB = 4,　　 AB = 5.

∵AB² = 25,　　 AC² = OA² + OC² = 5,　　 BC² = OC² + OB² = 20,

∴AC² +BC² = AB².　　　　　　　　 ∴△ABC是直角三角形.

(3)作出点C关于x轴的对称点C′，则C′(0，2)，OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。

解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.

∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM.

∴

∴，∴m =．

解法二：设直线C′D的解析式为y = kx + n ,

则，解得n = 2, 　.

∴ .

∴当y = 0时， ，

　.　　 ∴.

16. (2011广东中山，15,6分)已知抛物线与x轴有两个不同的交点．

　　 (1)求c的取值范围；

(2)抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．

[解](1)∵抛物线与x轴有两个不同的交点

∴⊿＞0，即1－2c＞0

解得c＜

(2)设抛物线与x轴的两交点的横坐标为，

∵两交点间的距离为2，

∴，

由题意，得

解得

∴c=

即c的值为0．

15. (20011江苏镇江,24,7分)如图,在△ABO中,已知点A(,3),B(-1,-1),O(0,0),正比例y=-x的图象是直线l,直线AC∥x轴交直线l于点C.

(1)C点坐标为_____;

(2)以点O为旋转中心,将△ABO顺时针旋转角a(0°<a<180°),使得点B落在直线l上的对应点为,点A的对应点为,得到△.

①∠a=_____;

②画出△;

(3)写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标.

[答案]解：(1)C点坐标为(-3，3)；(2)①∠α=90°②略 (3)(9,-), (,-9).