28.(本题满分12分)如图,已知一次函数y =  -  x +7与正比例函数y  =   x的图象交于点A

且与x轴交于点B.

(1)求点A和点B的坐标;

(2)过点AACy轴于点C,过点B作直线ly轴.

动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O-C-A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线lx轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.

①当t为何值时,以APR为顶点的三角形的面积为8?

②是否存在以APQ为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不

存在,请说明理由.

[答案](1)根据题意,得,解得 ,∴A(3,4) .

y=-x+7=0,得x=7.∴B(7,0).

(2)①当POC上运动时,0≤t<4.

SAPR=S梯形COBA-SACP-SPOR-SARB=8,得

(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8

整理,得t2-8t+12=0,  解之得t1=2,t2=6(舍)  

PCA上运动,4≤t<7.

SAPR= ×(7-t) ×4=8,得t=3(舍)

∴当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.

 ②当POC上运动时,0≤t<4. 此时直线l交AB于Q。

AP=AQ=t,PQ=7-t

AP =AQ时, (4-t)2+32=2(4-t)2, 整理得,t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)

AP=PQ时,(4-t)2+32=(7-t)2,整理得,6t=24. ∴t=4(舍去)

AQ=PQ时,2(4-t)2=(7-t)2整理得,t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)

PCA上运动时,4≤t<7. 此时直线l交AO于Q。过AADOBD,则AD=BD=4.

设直线l交AC于E,则QEACAE=RD=t-4,AP=7-t.

cos∠OAC= = ,得AQ = (t-4).

AP=AQ时,7-t = (t-4),解得t = . 

AQ=PQ时,AEPE,即AE= AP

t-4= (7-t),解得t =5.

AP=PQ时,过PPFAQF

AF= AQ = ×(t-4).

RtAPF中,由cos∠PAF = ,得AFAP

即 ×(t-4)= ×(7-t),解得t= .

∴综上所述,t=1或 或5或 时,△APQ是等腰三角形. 

[考点]一次函数,二元一次方程组,勾股定理,三角函数,一元二次方程,等腰三角形。

[分析](1)联立方程y =  -  x +7和y  =   x即可求出点A的坐标,今y=-x+7=0即可得点B的坐标。

    (2)①只要把三角形的面积用t表示,求出即可。应注意分POC上运动和PCA上运动两种情况了。

      ②只要把有关线段用t表示,找出AP=AQ,AP=PQ,AQ=PQ的条件时t的值即可。应注意分别讨论POC上运动(此时直线l与AB相交)和PCA上运动(此时直线l与AO相交)时AP=AQ,AP=PQ,AQ=PQ的条件。

27.(本题满分12分)情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点DA(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.观察图2可知:与BC相等的线段是    ,∠CAC′=    °.问题探究如图3,△ABC中,AGBC于点G,以A为直角顶点,分别以ABAC为直角边,向△ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF,过点EF作射线GA的垂线,垂足分别为PQ. 试探究EPFQ之间的数量关系,并证明你的结论.

拓展延伸如图4,△ABC中,AGBC于点G,分别以ABAC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GAEF于点H. 若AB= k AEAC= k AF,试探究HEHF之间的数量关系,并说明理由.                                          [答案]解:情境观察

AD(或A′D)90 

问题探究

结论:EP=FQ. 

证明:∵△ABE是等腰三角形,∴AB=AE,∠BAE=90°.

∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AGBC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP.

EPAG,∴∠AGB=∠EPA=90°,∴RtABGRtEAP. ∴AG=EP.

同理AG=FQ.  ∴EP=FQ.

拓展延伸

结论: HE=HF. 

理由:过点EEPGA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.

∵四边形ABME是矩形,∴∠BAE=90°,

∴∠BAG+∠EAP=90°.AGBC,∴∠BAG+∠ABG=90°,

∴∠ABG=∠EAP.

∵∠AGB=∠EPA=90°,∴△ABG∽△EAP,∴ = .

同理△ACG∽△FAQ,∴ = .

AB= k AEAC= k AF,∴ = = k,∴ = . ∴EP=FQ.

∵∠EHP=∠FHQ,∴RtEPHRtFQH. ∴HE=HF

[考点]拼图,旋转,矩形性质,直角三角形两锐角关系,等量代换,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。

[分析]情境观察:易见与BC相等的线段是AD,它们是矩形的对边。

          ∠C′AC=1800-∠C′AD-∠C′AB=1800-900=900

 问题探究:找一个可能与EPFQ都相等的线段AG考虑RtABGRtEAP,这用ASA易证,得出EP=AG同样考虑RtACGRtFAQ,得出FQ=AG。从而得证。

 拓展延伸:与问题探究相仿,只不过将全等改为相似,证出FQ=AG再证

RtEPHRtFQH,从而得证。

 0  49414  49422  49428  49432  49438  49440  49444  49450  49452  49458  49464  49468  49470  49474  49480  49482  49488  49492  49494  49498  49500  49504  49506  49508  49509  49510  49512  49513  49514  49516  49518  49522  49524  49528  49530  49534  49540  49542  49548  49552  49554  49558  49564  49570  49572  49578  49582  49584  49590  49594  49600  49608  447348 

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