14. (2011江苏盐城，23，10分)已知二次函数y =　 -　　 x² - x + .

(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；

(2)根据图象，写出当y ＜ 0时，x的取值范围；

(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．

[答案](1)画图(如图)；　

　 (2)当y ＜ 0时，x的取值范围是x＜-3或x＞1；

　 (3)平移后图象所对应的函数关系式为y=- (x-2)²+2(或写成y=- x²+2x).

13. (2011广东肇庆，25，10分)已知抛物线(>0)与轴交于、两点．

(1)求证：抛物线的对称轴在轴的左侧；

(2)若(是坐标原点)，求抛物线的解析式；

(3)设抛物线与轴交于点，若D是直角三角形，求D的面积．

[答案](1)证明：∵>0　 　∴

　　 ∴抛物线的对称轴在轴的左侧　

(2)解：设抛物线与轴交点坐标为A(，0)，B(，0)，

则， ，　 ∴与异号　

又　　 ∴　 由(1)知：抛物线的对称轴在轴的左侧

∴，　 ∴,　　

代入得：

即，从而，解得：　

∴抛物线的解析式是　　

(3)[解法一]：当时，　 ∴抛物线与轴交点坐标为(0，)

∵D是直角三角形，且只能有AC⊥BC，又OC⊥AB，

∴∠CAB＝ 90°- ∠ABC，∠BCO＝ 90°- ∠ABC，∴∠CAB ＝∠BCO

∴Rt△AOC∽Rt△COB，

∴，即　 ∴

　即　 解得：　　

此时＝　 ，∴点的坐标为(0，-1)∴OC＝1

又

∵>0，∴　 即AB＝ ∴D的面积＝×AB×OC＝´´1＝

[解法二]：略解: 当时，　 ∴点(0，)

∵D是直角三角形　 ∴　　

∴　

∴　 ∴　 　　　

解得：　 　

∴

12. (2011广东省，15，6分)已知抛物线与x轴有交点．

　　 (1)求c的取值范围；

(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．

[答案](1)∵抛物线与x轴没有交点

∴⊿＜0，即1－2c＜0

解得c＞

(2)∵c＞

∴直线y=x+1随x的增大而增大，

∵b=1

∴直线y=x+1经过第一、二、三象限

11. (2011贵州贵阳，21，10分)

如图所示，二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C．

(1)求m的值；(3分)

(2)求点B的坐标；(3分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)，使S_△ABD=S_△ABC，求点D的坐标．(4分)

(第21题图)

[答案]解：(1)将(3，0)代入二次函数解析式，得

-3²+2×3+m=0．

解得，m=3．

(2)二次函数解析式为y=-x²+2x+3，令y=0，得

-x²+2x+3=0．

解得x=3或x=-1．

∴点B的坐标为(-1，0)．

(3)∵S_△ABD=S_△ABC，点D在第一象限，

∴点C、D关于二次函数对称轴对称．

∵由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为(0，3)，

∴点D的坐标为(2，3)．

10．(2011四川绵阳24，12)已知抛物线:y=x²-2x+m-1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点,

如图，设它的顶点为B

(1)求m的值；

(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是△ABC是等腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.

[答案](1)抛物线与x轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2

(2)∵抛物线的解析式是y=x²-2x+1,∴A(0，1)，B(1，0)∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A，C是对称点，∴AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形。

(3)平移后解析式为y=x²-2x-3,可知E(-1,0),F(0,-3)∴EF的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线的k值相乘=-1，所以过E点或F点的直线为y=x+b把E点和F点分别代入可得b=或-3，∴y=x+或y=x-3列方程得解方程x₁=-1,x₂=, x₁ 是E点坐标舍去，把x₂=代入得y=,∴P₁(，)同理易得x_{1 =} 0舍去，x₂₌ 代入y=-,∴P₂(,-)

6. (2011江苏南京，24，7分)(7分)已知函数y=mx²－6x+1(m是常数)．

⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

[答案]解：⑴当x=0时，．

所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点(0，1)．

⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；

②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，．

综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．

5. (2011湖南怀化，22，10分)已知：关于x的方程

(1)　　　 当a取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；

(2)　　　 求证：a取任何实数时，方程总有实数根.

[答案]

(1)解：∵二次函数的对称轴是x=-2

∴　　

解得a=-1

经检验a=-1是原分式方程的解.

所以a=-1时，二次函数的对称轴是x=-2；

(2)1)当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1；

　　 2)当a≠0时，原方程为一元二次方程，，

当方程总有实数根，

∴

整理得，

∵a≠0时　 总成立

所以a取任何实数时，方程总有实数根.

4. (2011广东汕头，15，6分)已知抛物线与x轴有交点．

　　 (1)求c的取值范围；

(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．

[答案](1)∵抛物线与x轴没有交点

∴⊿＜0，即1－2c＜0

解得c＞

(2)∵c＞

∴直线y=x+1随x的增大而增大，

∵b=1

∴直线y=x+1经过第一、二、三象限

3. (2011江苏泰州，27，12分)已知：二次函数y=x²+bx－3的图像经过点P(－2,5)．

(1)求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围；

(2)设点P₁(m,y₁)、P₂(m+1,y₂)、P₃(m+2,y₃)在这个二次函数的图像上．

①当m=4时，y₁、y₂、y₃能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；

②当m取不小于5的任意实数时，y₁、y₂、y₃一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．

[答案]解：(1)把点P代入二次函数解析式得5= (－2)²－2b－3，解得b=－2.

当1＜x≤3时y的取值范围为－4＜y≤0.

(2)①m=4时，y₁、y₂、y₃的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长．

②当m取不小于5的任意实数时，y₁、y₂、y₃的值分别为m²－2m－3、m²－4、m²+2m－3，由于， m²－2m－3+m²－4＞m²+2m－3，(m－2)²－8＞0，

当m不小于5时成立，即y₁+y₂＞y₃成立．

所以当m取不小于5的任意实数时，y₁、y₂、y₃一定能作为同一个三角形三边的长，

2. ( 2011重庆江津， 25，10分)已知双曲线与抛物线y=zx²+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点.

　　 (1)求双曲线与抛物线的解析式;

　　 (2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积,

　 [答案](1)把点A(2,3)代入得　 ：k=6·

　∴反比例函数的解析式为：·

　把点B(m,2)、C(－3,n)分别代入得： m=3,n=-2·

　把A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入y=ax²+bx+c得：

　 解之得　

∴抛物线的解析式为：y=-·

(2)描点画图

S_△ABC=(1+6)×5-×1×1-×6×4==5·