1.下列无穷数列中,极限不存在的数列是(   )

A.1,,,,,…

B.3,3,3,3,…,3,…

C.3,,,…,,…

D.1,0,-1,0,…,,…

分析 本题考查常见数列的极限.

解 ∵(-1)ⁿ⁺¹?=0,3=3,

=()=2,

∴A、B、C存在极限.

而D是一摆动数列,不存在极限.

答案 D

2.若a_n=3且b_n=-1,那么(a_n+b_n)²等于(    )

A.4                 B.-4              C.16              D.-16

分析 本题考查数列极限的运算法则,即如果两个数列都有极限,那么它们的和、差、积、商的极限分别等于它们极限的和、差、积、商.

解 (a_n+b_n)²=(a_n²+2a_nb_n+b_n²)

=a_n²+2a_n?b_n+b_n²

=3²+2×3×(-1)+(-1)²=4.

答案 A

3.若在x=2处连续,则实数a、b的值是(   )

A.-1,2             B.0,2              C.0,-2              D.0,0

分析 本题考查函数的左、右极限与函数极限的关系、函数连续的概念及它们之间的关系.

解 f(x)在x=2处连续

∵f(x)=(x²+a)=4+a=4,∴a=0.

f(x)=(x+b)=2+b=4,∴b=2.

答案 B

4.等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n,若则的值等于(　　)

A.1　　　　　　　B.　　　　　　　　C.　　　　　　　　D.

分析　本题考查当n→∞时数列的极限.解题的关键是把结论中通项的比值用条件中前n项和的比值表示出来,即把转化成关于n的多项式.

解法一　设S_n=k_n?2_n,T_n=kn(3n+1)(k为非零常数).

由a_n=S_n-S_n-1(n≥2),

得a_n=2kn²-2k(n-1)²=4kn-2k,

b_n=kn(3n+1)-k(n-1)［3(n-1)+1］=6kn-2k.

∴＝

解法二　∵=

又∵

∴

∴

答案　C

5.若则常数k的值为(　　)

A.2　　　　　　　　B.　　　　　　　　C.-2　　　　　　　　D.-

解析　原式=

∵∴k=.

答案　B

6.的值为(　　)

A.3　　　　　　　B.-3　　　　　　　C.-2　　　　　　　D.不存在

分析　本题考查函数在x→x₀处的极限值.如果把x=x₀代入函数解析式,解析式有意义,那么f(x₀)的值就是函数的极限值.

解　

答案　B

7.函数f(x)= 的不连续点是(   )

A.x=2                         B.x=-2

C.x=2和x=-2                   D.x=4

分析 本题考查函数的连续性.一般地,函数f(x)在点x=x₀处连续必须满足下面三个条件：

(1)函数f(x)在点x=x₀处有定义；

(2)存在；

(3),即函数f(x)在点x₀处的极限值等于这一点的函数值.

解 因函数在x=±2时无定义,所以不连续点是x=±2.

答案 C

8等于(   )

A.               B.                 C.               D.1

分析 由于“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加,因此,对于本题应先求和化为有限项的算式,再运用极限的运算法则求极限.

解 ∵

∴原式=

答案 B

9.★已知一个数列的通项公式为f(n),n∈N*,若7f(n)=f(n-1)(n≥2)且f(1)=3,则［f(1)+f(2)+…+f(n)］等于(   )

A.             B.             C.-7             D.-

分析 本题考查当n→∞时数列的极限.关键是先求出数列的通项公式f(n),然后求其前n项和,把待求极限式化成有限项形式,即化成关于n的多项式,再求极限.

解 ∵f(1)=3≠0,∴

∴数列为首项为3,公比为的等比数列.

∴f(n)=3?()^n-1.

由公比不为1的等比数列的前n项和公式,得

S_n=

∴

答案 A

10.(2x+1)ⁿ=0成立的实数x的范围是(   )

A.x=-             B.-＜x＜0

C.-1＜x＜0           D.-1＜x≤0

分析本题考查数列的一个重要极限,即limn→∞an=0时,有|a|＜1.

解 要使(2x+1)ⁿ=0,只需|2x+1|＜1,即-1＜2x+1＜1.解得-1＜x＜0.

答案 C

第Ⅱ卷(非选择题共60分)

11.          .

分析 当n无限增大时, 的分子中含无限多项,而“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加.因此应先将分子化为只含有限多项的算式,然后再运用极限的运算法则求极限.

解 原式=

答案 1

12.            .

分析 本题考查当x→x₀时函数的极限.若把x=1代入分子、分母中,分式变成“”型,不能直接求极限,因此可把分子、分母分别进行因式分解,约去分子、分母中的“零因式”,然后再代入求极限.

解

答案

13.★一个热气球在第一分钟时间里上升了25米高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%,这个热气球最多能上升              米.

解析 由题意,该热气球在第一分钟,第二分钟,…,上升的高度组成首项为25,公比为的等比数列,它上升的最大高度S=S_n=

答案 125

14.             .

分析 本题考查qⁿ=0,|q|＜1的应用.因为当n→∞时,构成该式的四项均没有极限,故应将分子、分母同时除以底数最大、次数较高的项3ⁿ,以期转化成每一项都有极限的形式,再运用极限的运算法则求解.

解

答案

15.(本小题满分8分)讨论函数在x=2处的左极限、右极限以及在x=2处的极限.

分析 本题考查函数在某一点处的极限,左、右极限的定义及其相互关系.

对于常见函数,可先画出它的图象,观察函数值的变化趋势,利用极限的定义确定各种极限.

解 当x→2^-时,函数无限接近于0,

即      3分

当x→2⁺时,函数无限接近于2,

即

综上,可知≠,    6分

∴函数f(x)在x=2处极限不存在.      8分

16.(本小题满分8分)已知数列{a_n}中,a_n=S_n为其前n项的和,求的值.

分析 由于中是无穷项和的极限,必须先求得和的化简式,转化为有限项的极限问题.

而是一类裂项后有明显相消项的数列,所以采用了裂项法.但相消时应注意消去项的规律,即消去了哪些项,保留了哪些项.

解

∴        8分

17.(本小题满分8分)如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,tanC=0.5,AB=1,在△ABC内有一系列正方形,求所有这些正方形面积之和.

分析 本题考查等比数列前n项和的极限.

解 设正方形BD₁C₁B₁、D₁D₂C₂B₂、…的边长分别为a₁,a₂,….

∵AB=1,tanC=0.5,∴BC=2.

由相似三角形的知识可得,

∴a₁=.同理,可得a₂=a₁,…,a_n=a_n-1.

∴{a_n}是以为首项,以为公比的等比数列.   3分

设{S_n}是第n个正方形的面积,则S_n是以为首项, 为公比的等比数列.   4分

∴(S₁+S₂+…+S_n)=

即所有这些正方形面积之和为.          8分

18.★(本小题满分10分)已知等差数列{a_n}的前三项为a,4,3a,前n项和为S_n,S_k=2 550.

(1)求a及k的值;

(2)求的值.

解 (1)∵a+3a=2×4,∴a=2.

∴数列{a_n}是首项为2,公差为2的等差数列.     2分

∵2k+×2=2550,∴k=50,

即a、k的值分别为2、50.     5分

(2)∵S_n=2n+×2=n²+n,

∴

∴

∴          

19.★(本小题满分10分)已知求m、n的值.

分析 本题考查当x→x₀时,函数的极限.关键是通过极限的运算构造方程组,求m、n.

由可知x²+mx+2含有x+2这一因式,∴x=-2为方程x²+mx+2=0的根.

∴m=3,代入进而可求得n.

也可由得

解出m,再求n.

解法一 ∵

∴x=-2为方程x2+mx+2=0的根.

∴m=3.    4分

又

∴n=-1.          9分

∴m=3,n=-1.       10分

∴(-2)²+(-2)m+2=0,m=3.

同上可得n=-1.