3. (2011山东威海，24，11分)如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．

(1)若∠1=70°，求∠MNK的度数．

(2)△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．

(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．

(备用图)

[答案]　 解：∵ABCD是矩形，

∴AM∥DN，

∴∠KNM=∠1．

∵∠KMN=∠1，

∴∠KNM=∠KMN．

∵∠1=70°，

∴∠KNM=∠KMN=70°．

∴∠MNK=40°．

(2)不能．

过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1,

由(1)知∠KNM=∠KMN．

∴MK=NK．

又MK≥ME,

∴NK≥1．

∴．

∴△MNK的面积最小值为，不可能小于．

(3)分两种情况：

情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．

设MK=MD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得

,

解得，．

即．

∴．　　　　　　　　　　　　　　 (情况一)

情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．

设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得

即．

∴．

∴△MNK的面积最大值为1.3．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (情况二)

2. (2011山东济宁，22，8分)数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为， 为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.

(1) 请按照小明的思路写出求解过程.

(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

(1)解：过作直线平行于交，分别于点，，

则，，.

∵，∴.······· 2分

∴，.

∴. ··················· 4分

(2)证明：作∥交于点，················ 5分

则，.

∵，

∴.

∵，，

∴.∴.··········· 7分

∴.······················· 8分

1. (2011四川宜宾,22,7分)如图，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：

(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；

(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤．

[答案]解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分

⑴如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为，测出飞机在B处对山顶的俯角为，测出AB的距离为d，连接AM，BM．

⑵第一步，在中， ∴

第二步，在中，　 ∴

其中，解得．

18.

17. (2011湖北荆州，24，12分)(本题满分12分)如图甲，分别以两个彼此相信的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线不x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上)，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1.

(1)求B点的坐标；

(2)求证：ME是⊙P的切线；

(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ＝t，，直接写出s与t之间的函数关系式.

　图甲　　　　　　　图乙

[答案]解：(1)如图甲，连接PE、PB，设PC＝n　

∵正方形CDEF面积为1∴CD＝CF＝1　

根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝n　

∴BC＝2PC＝2n 而PB＝PE，PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²　

又PE²=PF²+EF²=(n+1)²+1

∴5n²=(n+1)²+1　

解得n₁=1， (舍去)

∴BC＝OC＝2

∴B点坐标为(2，2)

(2)如图甲，由(1)知A(0，2)，C(2，0)

∵A，C在抛物线上

∴，解之得：

∴抛物线的解析式为?

∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线

∵C与G关于直线x=3对称，∴CF＝FG＝1

∴MF＝FG＝

在Rt△PEF与Rt△EMF中　

，

∴，而∠PFE＝∠FEM＝90°

∴△PEF∽△EMF

∴∠EPF＝∠FEM　

∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°

∴ME与⊙P相切

(3)①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ

则有AQ＝A′Q，△ACQ周长的最小值为(AC+A′C)的长

∵A与A′关于直线x=3对称

∴A(0，2)，A′(6，2)

∴A′C＝，

而AC=

∴△ACQ周长的最小值为　

②当Q点在F点上方时，S＝t+1

当Q点在线段FN上时，S＝1-t

当Q点在N点下方时，S＝t-1.

　　　　图乙

16. (2011湖南湘潭市，26，10分)(本题满分10分)

已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T.

⑴ 如图⑴，当C点运动到O点时，求PT的长;

⑵ 如图⑵，当C点运动到A点时，连结PO、BT，求证：PO∥BT;

⑶ 如图⑶，设，，求与的函数关系式及的最小值.

[答案]解：(1)连接OT，

当C点运动到O点时，∵PT为⊙O的切线，∴OT⊥PT,

∴在Rt△PTO中，．

(2)连接AT,

当C点运动到A点时，∵PC⊥AB，∴PA是⊙O的切线．

∵PT为⊙O的切线，∴PA=PT、PO平分∠APT，∴PO⊥AT.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ATB是直角，即BT⊥AT，∴PO∥BT．

⑶连接OP、OT。∵，∴．

∵在Rt△PCO中，

在Rt△POT中，,

∴，即．

∴．

当x=4时，y最小其值为9.

∴与的函数关系式为， 的最小值是9.

15. (2011山东枣庄，25，10分)如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点(点在点的左边)，与轴交于点，顶点为.

　　 (1)写出的值；

　　 (2)判断的形状，并说明理由；

　　 (3)在线段上是否存在点，使∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

解：(1)的顶点坐标为D(－1，－4)，

_∴ .　 ……………………………………………………………………2分

　(2)由(1)得.

　 当时，． 解之，得　．

　_∴ .

　 又当时，，

_∴C点坐标为.……………………………………………………………………4分

又抛物线顶点坐标，作抛物线的对称轴交轴于点E， 轴于点．易知

在中，；

在中，；

在中，；

_∴ ．

_{∴ △ACD}是直角三角形．　……………………………………………………………6分

(3)存在．作OM∥BC交AC于M，M点即为所求点．

由(2)知，为等腰直角三角形，，_．

由，得．

即. ……………………………………………………8分

过点作于点，则

，.

又点M在第三象限，所以.　 …………………………………………………10分

14. (2011广东湛江28,14分)如图，抛物线的顶点为,与轴相交点，与轴交于两点(点A在点B的左边)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AC，CD，AD，试证明为直角三角形；

(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A,B,E,F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

[答案](1)，所以抛物线的解析式为；

(2)因为，可得,

所以有

所以，所以为直角三角形；

(3)可知,假设存在这样的点F，设，所以,

要使以A,B,E,F四点为顶点的四边形为平行四边形，只需要,即，所以或，因此点F的坐标为或。

13. (2011湖北鄂州，24，14分)如图所示，过点F(0，1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x₁，y₁)和N(x₂，y₂)两点(其中x₁＜0，x₂＜0)．

⑴求b的值．

⑵求x₁•x₂的值

⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M₁、N₁，判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

[答案]解：⑴b=1

⑵显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=－4

⑶△M₁FN₁是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由题知M₁的横坐标为x₁，N₁的横坐标为x₂，设M₁N₁交y轴于F₁，则F₁M₁•F₁N₁=－x₁•x₂=4，而FF1=2，所以F₁M₁•F₁N₁=F₁F²，另有∠M₁F₁F=∠FF₁N₁=90°，易证Rt△M₁FF₁∽Rt△N₁FF₁，得∠M₁FF₁=∠FN₁F₁，故∠M₁FN₁=∠M₁FF₁+∠F₁FN₁=∠FN₁F₁+∠F₁FN₁=90°，所以△M₁FN₁是直角三角形．

⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：

直线y=－1即为直线M₁N_1．

如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN₁=， NF=，得NN₁=NF

同理MM₁=MF．

那么MN=MM₁+NN₁，作梯形MM₁N₁N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=(MM₁+NN₁)=MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．

11. (2011山东东营，24，12分)(本题满分12分)

　 如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(-3,0)，(0,1)，点

D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合)，过点D做直线交折现OAB与点E。

(1)记ΔODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

(2)当点E在线段OA上时，且tan∠DEO=。若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形，试探究四边形与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，如不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。

[答案]

解(1)由题意得B(-3,1).若直线经过点A(-3,0)时，则b=；

　　　　　　　　　　　　 若直线经过点B(-3,1)时，则b=；

若直线经过点C(0,1)时，则b=1；

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图(1)，此时E(-2b，0)，∴S=

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图(2)，此时点E(-3，b-)，D(-2b+2,1)　

　 ∴

∴

(2)如图3，设O₁A₁ 与CB相交与点M，OA与C₁B₁相交与点N，则矩形O₁A₁ B₁ C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。由题意知，DM∥NE，DN∥ME， ∴四边形DNEM为平行四边形，根据轴对称知，∠MED=∠NED，又∠MDE=∠NED，∴MD=ME，∴四边形DNEM为菱形。

过点D作DH⊥OA，垂足为H，依题意知，tan∠DEH=，DH=1，

∴ HE=2，设菱形DNEM的边长为a,则在Rt△DHN中，由勾股定理知： ，∴　 ∴

∴矩形O₁A₁ B₁ C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为