12. (2011山东潍坊，23，11分)如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.

(1)求证：△ABC∽ΔOFB；

(2)当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；

(3)求证：当D在AM上移动时(A点除外)，点Q始终是线段BF的中点.

[解](1)证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC.

又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB.

∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°.

∴△ACB∽△OBF.

(2)由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，

∴△ABD∽△BFO，

当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO.

∴AD=BO=AB =1.

∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线.

连接OP，∵DP是半圆O的切线，

∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，

∴四边形ADPO为正方形.

∴DP//AB，∴四边形DABQ为矩形.

∴BQ=AD=1.　　　　　　　　　　　

(3)由(2)知，△ABD∽△BFO，

∴，∴.

∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP.

过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，，

∴，

∴，∴BF=2BQ，∴Q为BF的中点.

11. (2011山东聊城，23，8分)如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接OD、AE，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P，

(1)求∠AOD的度数；

(2)求证：PD是半圆O的切线；

[答案](1)∵点C是OA的中点，∴OC＝OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，cos∠COD＝，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°，

(2)证明：连接OC，点E是BD弧的中点，DE弧＝BE弧，∴∠BOE＝∠DOE＝∠DOB＝ (180°－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO+∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝30°，∵PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由(1)知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P+∠POD)＝180°－(30°+60°)＝90°，∴PD是圆O的切线

10．(2011山东济宁，20，7分)如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF，

(1)求证：OD∥BE；

(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．

[答案](1)证明：连接OE，

　　　　 ∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，

∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，

∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，

∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，

∴OD∥BE

(2)OF=CD，

理由：连接OC，

∵BC、CE是⊙O的切线，

∴∠OCB=∠OCE

　　　 ∵AM∥BN，

　　　 ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°

　　　 由(1)得∠ADO=∠EDO，

　　 ∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°

在Rt△DOC中，∵F是DC的中点，

∴OF=CD．

9. (2011广东株洲，22，8分)如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD=∠C．

(1)求证：OD⊥AC；

(2)若AE=8，，求OD的长．

[答案](1)证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径

∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°，

又∵∠AOD=∠C，

∴∠AOD+∠A=90°，

∴∠ADO=90°，

∴OD⊥AC.　　　　　　

(2)解：∵OD⊥AE，O为圆心，

∴D为AE中点 ，

　∴，

又 ，∴ OD=3.

8. (2011浙江省嘉兴，22，12分)如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．

(1)求证：CA是圆的切线；

(2)若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．

[答案](1)∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，

∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．

(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;

在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;

∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,

∴BC=．即圆的直径为10.

7. (2011浙江温州，20，8分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA＝3，AE＝2，

(1)求CD的长；

(2)求BF的长．

[答案]解：(1)连结OC，在Rt△OCE中，．

∵CD⊥AB，

∴

(2) ∵BF是⊙O 的切线，

∴FB⊥AB，

∴CE∥FB，

∴△ACE∽△AFB，

∴，，

∴

6. (2011山东日照，21，9分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．

求证：(1)∠AOC=2∠ACD；

(2)AC²＝AB·AD．

[答案]证明：(1)∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，

即∠ACD+∠ACO=90°．…①　 ∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，

∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°. ②　　 由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；

(2)如图，连接BC．

∵AB是直径，∴∠ACB=90°．

在Rt△ACD与△RtACD中，

∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，

∴△ACD∽△ABC，∴，即AC²=AB·AD．

5. (2011山东菏泽，18，10分)如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，

(1)求证：△ABE∽△ADB；

(2)求AB的长；

(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

解：(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D，

又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB，　

(2)　　　 ∵△ABE∽△ADB，∴，

∴AB²=AD·AE=(AE+ED)·AE=(2+4)×2=12

∴AB=．　　　　　　　 　　　

(3)　 直线FA与⊙O相切，理由如下：

连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，

∴，

BF=BO=，

∵AB=，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，

∴直线FA与⊙O相切．

4. (2011山东滨州，22，8分)如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM,　 连接OM、BC.

求证：(1)△ABC∽△POM;

(2)2OA²=OP·BC.

[答案]证明：(1)∵直线PM切⊙O于点M，∴∠PMO=90°………………1分

　　　　 ∵弦AB是直径，∴∠ACB=90°………………2分

　　　　　 ∴∠ACB=∠PMO………………3分

　　　　 ∵AC∥PM, ∴∠CAB=∠P　 ………………4分

　　　　　 ∴△ABC∽△POM………………5分

(2) ∵ △ABC∽△POM, ∴………………6分

　 又AB=2OA,OA=OM, ∴………………7分

∴2OA²=OP·BC………………8分

3. (2011安徽芜湖，23，12分)如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.

(1) 求证：CD为⊙O的切线；

(2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.

[答案]

(1)证明：连接OC，　　　　　　　　　　　　 ……………………………………1分

因为点C在⊙O上，OA=OC，所以 因为，所以，有.因为AC平分∠PAE，所以……………3分

所以 ……4分

又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线.　 ………………5分

(2)解:过O作，垂足为F，所以，

所以四边形OCDF为矩形，所以　 ……………………………7分

因为DC+DA=6，设,则

因为⊙O的直径为10，所以，所以.

在中，由勾股定理知

即化简得，

解得或x=9.　　　　　 　　………………9分

由，知，故. ………10分

从而AD=2，　 …………………11分

因为，由垂径定理知F为AB的中点，所以…………12分