24. (2011江苏连云港，25，10分)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=－2x上.

(1)求a的值；

_{(2)求A,B两点的坐标;}

_{(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D´是否在该抛物线上?请说明理由.}

[答案]解：(1)∵二抛物线的顶点坐标为，∴x=1,∵顶点在直线y=-2x上，所以y=-2,即顶点坐标为(1，-2)，∴-2=-1+a,即a=-4;(2)二次函数的关系式为，当y=0时，

，解之得：，即A(-1，0)，B(3，0)；(3)如图所示：直线BD//AC,AD//BC,因为A(-1.0),C(0,),所以直线AB的解析式为,所以设BD的解析式为,因为B(3,0),所以b=,直线BD的解析式为:,同理可得:直线AD的解析式为:,因此直线BD与CD的交点坐标为:(2,),则点D关于x轴的对称点D´是(2,-),当x=2时代入得,y=,所以D´在二次函数的图象上.

23. (2011广东株洲，24，10分)孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

(1)若测得(如图1)，求的值；

(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；

(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

[答案]解：(1)设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，

∵ ，∠AOB=90°，

∴AC=OC=BC=2，∴B(2，-2)，　　　　　　　　　

将B(2，-2)代入抛物线得，.　　　

(2)解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，

∵点B的横坐标为1，∴B (1，)，　　　　　　　

∴.　 又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，又∠AEO=∠OFB=90°，

∴△AEO∽△OFB，∴　 ∴AE=2OE，　　　

设点A(，)(m＞0)，则OE=m，，∴

∴m=4，即点A的横坐标为-4.　　　

解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，

∵点B的横坐标为1，∴B (1，)，

∴　　

∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，

∴，∴AE=2OE，　　　　　 　　　　

设点A(-，)(m＞0)，则OE=m，，∴

∴m=4，即点A的横坐标为-4.　　　　　　

解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，

∵点B的横坐标为1，∴B (1，)，

设A(-，)(m＞0)，则

，，，　

∵∠AOB=90°，∴，

∴，

解得：m=4，即点A的横坐标为-4.　　　　　　　　 　　

(3)解法一：设A(，)(m＞0)，B(，)(n＞0)，

设直线AB的解析式为：y=kx+b，　　 则，

(1)×n+(2)×m得，，

　∴　　　　

又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4，

∴.由此可知不论k为何值，直线AB恒过点(0，-2)，

(说明：写出定点C的坐标就给2分)

解法二：设A(，)(m＞0)，B(，)(n＞0)，

直线AB与y轴的交点为C，根据，可得

，

化简，得. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4，∴OC=2为固定值.故直线AB恒过其与y轴的交点C(0,-2)

说明：mn的值也可以通过以下方法求得.

由前可知，，，，

由，得：，

化简，得mn=4.

22．(2011湖南益阳，20，10分)如图9，已知抛物线经过定点A(1，0)，它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′ 作x轴的平行线交抛物线于B、D两点(B点在y轴右侧)，直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：

(1)当P点坐标为(0，1)时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；

(2)若P点坐标为(0，m)时(m为任意正实数)，线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．

[答案]解：⑴　 设抛物线的解析式为 ，

　　　　　 抛物线经过 ， ，　　　　　　

　　　　　 .　

,

　　　　　　 ∥,,

由，

,.　　 　　　　

，∽，　

．　 　

⑵　 设抛物线的解析式为　

，

．　

∥，

，，，，

，，　　　

同⑴得　

．　

21. (2011甘肃兰州，28，12分)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D(4，)。

(1)求抛物线的表达式。

(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s

的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设S=PQ²(cm²)。

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由。

(3)在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标。

[答案](1)由题意得A(0，－2)，B(2，－2)，抛物线过A、B、D三点得

解得

抛物线的表达式为

(2)①S=PQ²=(0≤t≤1)

②由解得t=或t=(不合题意，舍去)

此时，P(1，－2)，B(2，－2)，Q(2，)

若以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R(3，)或(1，－)或(1，)

经代入抛物线表达式检验，只有点R(3，)在抛物线上

所以抛物线上存在点R(3，)使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形。

(3)过B、D的直线交抛物线对称轴于点M，则该点即为所求。因为如在对称轴上另取一点N，则

ND－NA=ND－NB<BD，而MD－MA=MD－MB=BD，故点M到D、A的距离之差最大。

由B(2，－2)、D(4，)求得直线BD的解析式为

时，，故点M的坐标为(1，)

20. (2011江西，24，10分)将抛物线c₁：y=-x²+沿x轴翻折，得抛物线c₂,如图所示.

(1)请直接写出抛物线c₂的表达式.

(2)现将抛物线c₁向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c₂向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

[答案]

[答案]解：(1)y=x²-.

(2)①令-x²+=0，得x₁=-1,x₂=1,则抛物线c₁与x轴的两个交点坐标为(-1，0)，(1，0).∴A(-1-m，0)，B(1+m,0).

当AD=AE时，如图①，(-1+m)-(-1-m)=[(1+m)-(-1-m)], ∴m=

当AB=AE时，如图②，(1-m)-(-1-m)=[(1+m)-(-1-m)], ∴m=2.

∴当m=或2时，B，D是线段AE的三等分点.

②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M(-m，-).即M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A(-1-m，0)，E(1+m，0)，∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE，∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA，即m²+()²=[-(-1-m)]², ∴m=1.

∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.

19. (2011浙江丽水，23，10分)在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax²+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.

(1)当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；

(2)当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，

①试求出当n=3时a的值；

②直接写出a关于n的关系式.

[解](1)由题意可知，抛物线对称轴为直线x=，

　　　　　 ∴－=，得b=1；

(2)设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+1，

由对称性可知抛物线经过点B(2，1)和点M(，2)，

∴解得

∴所求抛物线解析式为y=－x²+ x+1；

(3)①当n=3时，OC=1，BC=3，

　 设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx，

　 过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，

　 ∴==，

　 设OD=t，则CD=3t，

　 ∵OD²+CD²=OC²，

　 ∴(3t)²+ t ²=1²，∴ t==，

　 ∴C(，)，又B(，0)，

　 ∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得

　 解得：a=－；

　 ②a=－.

18. (2011浙江温州，22，10分)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(－2，4)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．

(1)求△OAB的面积；

(2)若抛物线经过点A．

①求c的值；

②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界)，求m的取值范围(直接写出答案即可)．

[答案] 解：(1) ∵点A的坐标是(－2，4)，AB⊥y轴，

∴AB=2，OB＝4，

∴

(2)①把点A的坐标(－2，4)代入，

得，∴c＝4

②∵，

∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是(－1，4)，OA的中点F的坐标是(－1，2)，

∴m的取值范围为l<m<3．

17. (2011浙江省，24，14分)如图，在直角坐标系中，抛物线(a≠0)与x轴交与点A(-1,0)、B(3,0)两点，抛物线交y轴于点C(0,3)，点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．

(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？

(3)设E为线段OC上的三等分点，链接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．

[答案]：(1)由题意，得：

　　　　　　 　解得：

∴=，顶点坐标为(1，4).

　　　　 (2)由题意，得 P(x, x-1) ，Q (x, )，

　　　　　　 ∴ 线段PQ=-( x-1)= 　=

　　　　　　 当x=时，线段PQ最长为。

　　　　 (3)∵E为线段OC上的三等分点，OC=3,　 ∴E(0，1)，或E(0，2)

　　　　　　 ∵EP=EQ，PQ与y轴平行，

∴ 2×OE=+( x-1)　

　　　　　　 当OE=1时，x₁=0，x₂=3，点P坐标为(0，-1)或(3，2)。

　　　　　　 当OE=2时，x₁=1，x₂=2， 点P坐标为(1，0)或(2，1)。

16. (2011山东日照，24，10分)如图，抛物线y=ax²+bx(a0)与双曲线y= 相交于点A，B. 已知点B的坐标为(-2，-2)，点A在第一象限内，且tan∠AOx=4. 过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．

(1)求双曲线和抛物线的解析式；

(2)计算△ABC的面积；

(3)在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．

[答案](1)把点B(-2，-2)的坐标，代入y=，

得：-2=，∴k=4．

即双曲线的解析式为：y= ．

设A点的坐标为(m，n)。∵A点在双曲线上，∴mn=4．…①

又∵tan∠AOx=4，∴=4， 即m=4n．…②

又①，②，得：n²=1,∴n=±1.

∵A点在第一象限，∴n=1,m=4 ， ∴A点的坐标为(1，4)

把A、B点的坐标代入y=ax²+b x，得：解得a=1，b=3；

∴抛物线的解析式为：y=x²+3x ；(2)∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4，

代入y=x²+3x，得方程x²+3x-4=0，解得x₁=-4，x₂=1(舍去)．

∴C点的坐标为(-4，4)，且AC=5，

又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=×5×6=15 ；

(3)存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积.

过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D ．

因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为(-4，4)，CD∥AB，

所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12.

解方程组　 得所以点D的坐标是(3，18)

15. (2011广东广州市，24，14分)

已知关于x的二次函数y=ax²+bx+c(a>0)的图象经过点C(0，1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是(1，0)．

(1)求c的值；

(2)求a的取值范围；

(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S₁，△PAB的面积为S₂，当0＜a＜1时，求证：S₁－S₂为常数，并求出该常数．

[答案](1)c=1

(2)将C(0，1)，A(1，0)得

a+b+1=0

故b=―a―1

由b²－4ac＞0，可得

(－a－1)²－4a＞0

即(a－1)²＞0

故a≠1，又a＞0

所以a的取值范围是a＞0且a≠1．

(3)由题意0＜a＜1，b=―a―1可得－＞1，故B在A的右边，B点坐标为(－－1，0)

C(0，1)，D(－，1)

|AB|=－－1－1=－－2

|CD|=－

S₁－S₂＝S_△CDA－S_ABC=×|CD|×1－×|AB|×1

　　　　　　　　 =×(－)×1－×(－－2)×1

　　　　 =1

所以S₁－S₂为常数，该常数为1．