摘要： 孔明是一个喜欢探究钻研的同学.他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时.将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O.两直角边与该抛物线交于A.B两点.请解答以下问题: (1)若测得.求的值, (2)对同一条抛物线.孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时.过B作BF⊥x轴于点F.测得OF=1.写出此时点B的坐标.并求点A的横坐标, (3)对该抛物线.孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现.交点A.B的连线段总经过一个固定的点.试说明理由并求出该点的坐标． [答案]解:(1)设线段AB与y轴的交点为C.由抛物线的对称性可得C为AB中点. ∵ .∠AOB=90°. ∴AC=OC=BC=2.∴B. 将B代入抛物线得.. (2)解法一:过点A作AE⊥x轴于点E. ∵点B的横坐标为1.∴B (1.). ∴. 又∵∠AOB=90°.易知∠AOE=∠OBF.又∠AEO=∠OFB=90°. ∴△AEO∽△OFB.∴ ∴AE=2OE. 设点A(.).则OE=m..∴ ∴m=4.即点A的横坐标为-4. 解法二:过点A作AE⊥x轴于点E. ∵点B的横坐标为1.∴B (1.). ∴ ∵∠AOB=90°.易知∠AOE=∠OBF. ∴.∴AE=2OE. 设点A(-.)(m＞0).则OE=m..∴ ∴m=4.即点A的横坐标为-4. 解法三:过点A作AE⊥x轴于点E. ∵点B的横坐标为1.∴B (1.). 设A(-.)(m＞0).则 ... ∵∠AOB=90°.∴. ∴. 解得:m=4.即点A的横坐标为-4. (3)解法一:设A(.)(m＞0).B(.)(n＞0). 设直线AB的解析式为:y=kx+b. 则. ×m得.. ∴ 又易知△AEO∽△OFB.∴.∴.∴mn=4. ∴.由此可知不论k为何值.直线AB恒过点. (说明:写出定点C的坐标就给2分) 解法二:设A(.).B(.). 直线AB与y轴的交点为C.根据.可得 . 化简.得. 又易知△AEO∽△OFB.∴.∴.∴mn=4.∴OC=2为固定值.故直线AB恒过其与y轴的交点C 说明:mn的值也可以通过以下方法求得. 由前可知.... 由.得:. 化简.得mn=4.

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