海淀2007高三数学查漏补缺题

 

07年高考数学北京卷应该是在06年北京卷成功的基础上,稳定的发展,复习中要对各区题目(尤其东城、西城、海淀)文科理科中重点板块不仅要明确知识点,而且还要掌握结构特点,要用联系的思想看知识间的综合,用运动的观点看能力的要求. 高考数学试题是以思维能力考查为主体的,试题展现数学关系常常选取不同展示形式(图表、图象、曲线图、表格、符号、等等)之一,同学们要善于利用数学信息的多种表述分析问题,联系已有知识方法,提高分析问题、解决问题能力.

 

一、函数与导数

1.〖理科〗 已知函数f (x)=6lnx―ax2―8x+b  (a,b为常数),且x =3为f (x)的一个极值点.

    (Ⅰ) 求a;

    (Ⅱ) 求函数f (x)的单调区间;

    (Ⅲ) 若y = f (x)的图象与x轴正半轴有且只有3个交点,求实数b的取值范围.

解: (Ⅰ) ∵ f ′ (x) =―2ax―8, ∴ f ′ (3) =2―6a―8=0,则a = ―1.  

(Ⅱ) 函数f (x)的定义域为(0,+∞).             

由(Ⅰ) 知f (x) =6lnx+x2―8x+b.

       ∴ f ′ (x) =+2x―8=.  

由f ′ (x)>0可得x>3或x<1,由f ′ (x)<0可得1<x<3.

∴函数f (x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞),单调递减区间为(1,3).

(注:单调区间应分开写,不能用“È”连接)

   (Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0,1)单调递增,在(1,3)单调递减,在(3,+∞)单调递增.

且当x=1或x=3时,f ′ (x)=0.

∴ f (x)的极大值为f (1)=6ln1+1―8+b=b―7,

f (x)的极小值为f (3)=6ln3+9―24+b=6ln3+b―15.   

∵当x充分接近0时,f (x)<0,当x充分大时,f (x)>0,  

∴要使f (x)的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点,只需

 

则7<b<15―6ln3

 

2.〖理科、文科〗设函数,其图象在点处的切线的斜率分别为

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若函数的递增区间为,求的取值范围;

(Ⅲ)若当时(k是与无关的常数),恒有,试求k的最小值.

(Ⅰ)证明:,由题意及导数的几何意义得

             (1)

,          (2)          

,可得,即,故

由(1)得,代入,再由,得

,                         (3)         

代入(2)得,即方程有实根.

故其判别式得      ,或,    (4)           

由(3),(4)得;                       

(Ⅱ)解:由的判别式

知方程有两个不等实根,设为

又由知,为方程()的一个实根,则由根与系数的关系得

,  

时,,当时,

故函数的递增区间为,由题设知

因此,由(Ⅰ)知

的取值范围为;                     

(Ⅲ)解:由,即,即

因为,则,整理得

,可以看作是关于的一次函数,

由题意对于恒成立,

由题意,

,因此的最小值为.  

二、数列

3.对于数列{an}, {cn}数列,其中cn=an+1a(nÎN*).

(Ⅰ) 若数列{an}的通项公式 (nÎN*),求{cn}的通项公式;

(Ⅱ) 若数列{an}的首项是1,且满足cnan=2n

(1) 求证:数列为等差数列;

(2) (理) 若(nÎN*),求证:

 (文) 求数列{an}的前n项和Sn

证明:(Ⅰ)依题意cn=an+1an

∴ cn=

(Ⅱ)(1)由cnan=2nan+1anan=2n,即an+1=2an+2n.      

            ∴,即.       

              ∵a1=1,,∴是以为首项、为公差的等差数列.

(2)(理)由(1)知an=n?2n-1.             

.       

.                       ∴

=.     

=      

 (文)由(1)得an==n?2n-1,                   

              ∴ Sn = a1+a2+…+an=1?20+2?21+…+n?2n-1,  ①       

              ∴ 2Sn=1?21+2?22+…+n?2n.               ②        

①―②得:― Sn=1+2+22+…+2n-1― n?2n =― n?2n

∴ Sn= n?2n― 2n+1=(n― 1)?2n +1.                            

 

4.〖理科、文科〗 设数列的各项都是正数,记Sn为数列的前n项和,且对任意nN+,都有.

   (Ⅰ)求证:=2Snan

   (Ⅱ)求数列的通项公式;

   (Ⅲ)若为非零常数,n∈N+),问是否存在整数,使得对任意 nN+,都有bn+1>bn.

(Ⅰ)证明:在已知式中,当n=1时,

    ∵a1>0   ∴a1=1……………………………………1分

    当n≥2时,  ①

      ②

    ①-②得,…………………………3分

    ∵an>0  ∴=2a1+2a2+…+2an-1+an

    即=2Sn-an  ∵a1=1适合上式

   ∴=2Sn-an(n∈N+)……………………5分

   (Ⅱ)解:由(1)知=2Sn-an(n∈N+) ③

        当n≥2时, =2Sn-1-an-1  ④

        ③-④得=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+ an-1= an+ an-1

        ∵an+an-1>0   ∴an-an-1=1……………………8分

∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为1,可得a­n=n………………9分

   (Ⅲ)解:

        欲使

成立 ⑤……………………11分

n=2k-1,k=1,2,3,…时,⑤式即为  ⑥

依题意,⑥式对k=1,2,3…都成立,∴λ<1………………12分

当n=2k,k=1,2,3,…时,⑤式即为  ⑦

依题意,⑦式对k=1,2,3,…都成立,

……………………13分

∴存在整数λ=-1,使得对任意n∈N+,都有> 

三、立体几何

5. 〖理科、文科〗 如图,已知正三棱柱的底面边长是是侧棱的中点,直线与侧面所成的角为

     (Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长;

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(Ⅱ) 求二面角的大小;

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(Ⅲ)求点到平面的距离.

 

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(Ⅰ)证明:设正三棱柱的侧棱长为.取中点,连

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是正三角形,

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又底面侧面,且交线为

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侧面

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,则直线与侧面所成的角为.  

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中,,解得.  

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此正三棱柱的侧棱长为.                       

 注:也可用向量法求侧棱长.

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(Ⅱ)解:解法1:过,连

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侧面

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为二面角的平面角.          

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中,,又

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, 

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中,.             

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故二面角的大小为.              

解法2:(向量法,见后)

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(Ⅲ)解:解法1:由(Ⅱ)可知,平面,平面平面,且交线为,则平面.                   

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中,.        

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中点,到平面的距离为.    

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解法2: (思路)等体积变换:由可求.

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解法3: (向量法,见后)

题(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法:

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(Ⅱ)解法2:如图,建立空间直角坐标系

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为平面的法向量.

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又平面的一个法向量                        

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. 

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结合图形可知,二面角的大小为.        

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(Ⅲ)解法3:由(Ⅱ)解法2,

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到平面的距离

注:若为了看图方便,也可以把图调整后,标好字母证明之.

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6. 〖理科、文科〗如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD= 2, ∠BCE=1200

(Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面ABE ;

(Ⅱ)求点C到平面ADE的距离.

 

 

 

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解法1:取BE的中点O,连OC.

∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.   

以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图,

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则由已知条件有:,,

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,

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设平面ADE的法向量为=

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则由n?

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n?

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可取                                  

又AB⊥平面BCE. ∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE

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∴平面ABE的法向量可取为m.

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n?m?=0,

m∴平面ADE⊥平面ABE.                       

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(Ⅱ)点C到平面ADE的距离为

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解法2:取BE的中点O,AE的中点F,连OC,OF,DF.则

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∵AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE, AB=2CD

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∴CD CD∴∥ FD 

∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.

∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.

从而平面ADE⊥平面ABE.   

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(Ⅱ)∵CD ,延长AD, BC交于T

则C为BT的中点.

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点C到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离的.

过B作BH⊥AE,垂足为H.∵平面ADE.⊥平面ABE.∴BH⊥平面BDE.

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由已知有AB⊥BE. BE=,AB= 2, ∴BH=

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从而点C到平面ADE的距离为   

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∥ FD, 点C到平面ADE的距离等于点O到平面ADE的距离为.

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或取A B的中点M.易证∥ DA.点C到平面ADE的距离等于点M到平面ADE的距离为.

 

 

四、三角函数

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7.〖理科、文科〗已知三点,其中.

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(Ⅰ)若,求角的值;

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(Ⅱ)若,求的值.

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解:(Ⅰ) .

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,∴,即,

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化简得,∴.

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,∴.

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(Ⅱ) ,

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,

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8.〖理科、文科〗已知:为实数,函数 ∈R.

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 (Ⅰ)设的取值范围;

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  (Ⅱ)当的最大值是3时,求的值.

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解:

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   * 的取值范围是

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(1)的最大值为

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依题意 (满足

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  (2)的最大值为

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依题意,所以,不满足题意.

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(3)时, 的最大值为

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依题意,,满足.

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   由以上知:.

 

 

五、概率

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9. 〖理科〗某保险公司的统计表明,新保险的汽车司机中可划分为两类:第一类人易出事故,其在一年内出事故的概率为0.4,第二类人为谨慎的人,其在一年内出事故的概率为0.2.假定在新投保的3人中有一人是第一类人,有两人是第二类人.一年内这3人中出现事故的人数为记为.(设这三人出事故与否互不影响)

(Ⅰ)求三人都不出事故的概率;

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(Ⅱ)求的分布列及数学期望.

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解:(Ⅰ)

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(Ⅱ)

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0

1

2

3

p

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10. 〖理科、文科〗三名学生进行投篮测试,投中两次就停止投篮记为过关,每人最多可投4次.已知每位同学每次投中的概率均为,且各次投篮投中与否互不影响.

(Ⅰ)求每位同学过关的概率;

(Ⅱ)求恰有两位同学过关的概率;

(Ⅲ)求至少有一位同学过关的概率.

解:(Ⅰ)设每位同学过关的概率记为p

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(Ⅱ) 设恰有两位同学过关的概率为

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(Ⅲ)设至少有一位同学过关的概率

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六、不等式

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11、〖理〗已知关于的不等式的解集为,且.求

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解:易知对任意的,均有                     

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  的取值范围是                           

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时,有,故,         

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时,,故,                   

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时,有,故,      

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因此,当时,,                        

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      当时,

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      当时,.

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12、〖理科、文科〗若实数,解关于的不等式

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解:                       

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时,有,故不等式的解集为,        

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时,不等式转化为,故不等式的解集为,   

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时,有,故不等式的解集为.  

 

 

七、解析几何

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13. 〖理科、文科〗已知两定点,动点M满足.

(Ⅰ)求动点M的轨迹Q的方程;

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(Ⅱ)设曲线Q与y轴的交点为B,点E、F是曲线Q上两个不同的动点,且,直线AE与BF交于点,求证:为定值;

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(Ⅲ) 〖理科〗在第(Ⅱ)问的条件下,求证:过点和点E的直线是曲线Q的一条切线.

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(Ⅳ)在第(Ⅱ)问的条件下,试问是否存在点E使得(或),若存在,求出此时点E的坐标;若不存在,说明理由.

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解:(Ⅰ)设动点,因为

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所以

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化简得:

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(Ⅱ)由可设点则由A、P、E三点共线可得,同理可得:,两式相乘得:,又因为,所以=3

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(Ⅲ)点E处曲线Q的切线的斜率为,则切线方程为,AE、BF的方程为,则,所以在上述切线上,即过点和点E的直线是曲线Q的一条切线.

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(Ⅳ) 先证:

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     (其中用到代换)

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由此可得:.

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要使,则只需,即.而,因此不存在点E使得成立.

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另解:同前可得,要使,则只需,即,化简得,显然不成立.

 

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14〖理科、文科〗如图,已知,N、P两点分别在轴和轴上运动,并且满足 

(Ⅰ)求动点Q的轨迹方程;

(Ⅱ)若正方形ABCD的三个顶点A、B、C在点Q的轨迹上,求正方形ABCD面积的最小值.

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解(Ⅰ)

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由已知

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(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中A、B在x轴的下方(包括x轴),记A、B、C的坐标分别为,其中

并设直线AB的斜率为k(k<0)

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则有……①

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又因为A、B、C在抛物线上,故有

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代入①式得

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……②

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将②代入可得:

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正方形的边长为

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易知

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所以

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所以正方形ABCD面积的最小值为.

 

 

 

老师们身体健康!

 

祝同学们考试顺利!

   

 

 

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