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专题八《锐角三角函数与解直角三角形》
●中考点击
考点分析：
内容
要求
1、特殊角的三角函数值
Ⅰ
2、利用计算器求锐角的三角函数值，并能根据已知的三角函数值求对应的锐角
Ⅱ
3、综合运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题
Ⅱ
命题预测：本专题内容主要涉及两方面，一是锐角三角函数问题的基本运算，二是解直角三角形．其中，解直角三角形的应用题是中考重点考查的内容，题型广泛，有测建筑物高度的，有与航海有关的问题，有与筑路、修堤有关的问题．要注意把具体问题转化为数学模型，在计算时不能直接算出某些量时，要通过列方程的办法加以解决．
预测2007年中考的考查热点，主要要求能够正确地应用sinA、cosA、tgA、ctgA表示直角三角形两边的比，并且要熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值．理解直角三角形中的边、角之间的关系，会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，并会用相关的知识解决一些简单的实际问题，尤其是在计算距离、高度和角度等方面．
●难点透视
例1已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是
A、
B、
C、
D、
【考点要求】本题考查锐角三角函数的概念。
【思路点拨】根据题目所给条件，可画出直角三角形，结合图形容易判断
是∠B的正切值。
【答案】选C。
【方法点拨】部分学生会直接凭想象判断并选择结果，从而容易导致错误。突破方法：这类题目本身难度不大，但却容易出现错误，关键是要画出图形，结合图形进行判断更具直观性，可减少错误的发生。
例2某山路坡面坡度
,某人沿此山路向上前进
【考点要求】本是考查坡度与坡角正切值关系。
【思路点拨】坡度即坡角的正切值为
，所以坡角的正弦值可求得等于
，所以沿着山路前进=10（米）。
【答案】填10。
【方法点拨】少数学生因为未能正确理解坡度的意义，而出现使用错误。突破方法：牢记坡度表示坡角的正切值即坡角的对边：坡角的邻边=，然后再结合直角三角形，可求出坡角的正弦值，从而容易求得结果。
例3如图8-1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=
．求：（1）DC的长；（2）sinB的值．
【考点要求】本题考查锐三角函数概念的相关知识及其简单运用。
【思路点拨】（1）∵在Rt△ABC中，cos∠ADC＝＝
，设CD＝3k，∴AD＝5k
又∵BC＝AD，∴3k+4＝5k，∴k＝2． ∴CD＝3k＝6
（2）∵BC＝3k＋4＝6＋4＝10，AC＝
＝4k＝8
∴AB＝
∴sinB=
【答案】（1）CD＝6；（2）sinB=
。
【方法点拨】本题的关键是抓住“AD＝BC”这一相等的关系，应用锐角三角函数的定义及勾股定理解题．
例4如图所示，秋千链子的长度为
，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：
≈0.8,
≈0.6)
【考点要求】本题考查利用锐角三角函数知识和解直角三角形解决实际生活中的直角三角形问题．
【思路点拨】设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处．过点A，
B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．
在Rt
中，∵
，
，
∴ AC=
≈
=1.8（m）．
∴ 
≈
（m）．
∴ 
≈
（m）．
【答案】秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为m．
【方法点拨】部分学生想直接求出踏板离地最高的距离即BE，但却缺少条件。突破方法：通过作辅助线，将BE转化到CD位置上，根据题目所给条件容易求出AC，从而可求得CD的长。
解题关键：利用解直角三角形求解实际问题的关键在于构造适当的直角三角形。
例5如图8-5，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?
【考点要求】本题考查解直角三角形在航海问题中的运用，解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．
【思路点拨】在Rt△ABD中，
（海里），
∠BAD=90°-65°45′=24°15′.
∵cos24°15′=
， ∴
(海里).
AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).
在Rt△ACE中，sin24°15′=
，
∴CE=AC?sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).
∵17.54＜18.6，∴有触礁危险。
【答案】有触礁危险，不能继续航行。
【方法点拨】本题有两个难点，一是要能将实际问题抽象为数学问题，二是构造合适的直角形。突破方法：有无触礁危险，关键看离灯塔C最近的距离与18.6的大小关系，如果最近的距离大于18.6，则不会有触礁危险。
解题关键：离灯塔最近的距离是从灯塔向航线作垂线段。
例6某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．
（计算结果精确到
≈1.414，
≈1.732）
 |
【考点要求】本题考查解直角三角形在测量中的实际运用．
【思路点拨】（1）在Rt△A BC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°
∵tanC＝
∴AB＝AC?tanC＝9×
≈5.2（米）
（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，（如图2）
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝2×5.2＝10.4（米）
【答案】树高AB约为
【方法点拨】部分学生第（1）问没有太大困难，第（2）问中树在倾倒过程中，确定何处树影最长比较困难。突破方法：以A为圆心，AB为半径作圆弧，其中与圆弧相切的太阳光线所照射得到的树影最长。
解题关键：如何用直观的方式将树倾倒过程体现出来，这是解决该题的关键所在。
例7初三（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图
，结果精确到
【考点要求】本题考查解直角三角形在实际生活当中的综合运用．要求学生能根据问题实际快速确定正确解决问题的方法．
【思路点拨】过点B作BE⊥D，BF⊥D，垂足分别为E，F，如图2
由题意知，AD⊥CD
∴四边形BFDE为矩形
∴BF=ED
在Rt△ABE中，AE=AB?cos∠EAB
在Rt△BCF中，BF=BC?cos∠FBC
∴AD=AE+BF=20?cos60o+40?cos45o
=
=
=10+20×1.414
=38.28（米）
【答案】
【方法点拨】部分学生知道需要利用解直角三角形来解题，但却又不知从何处入手。突破方法：在无法直接求出AD长的情况下，可考虑分段计算，也就是构造多个直角三角形，化整为零，各个突破，再积零为整，求得结果。
●难点突破方法总结
锐角三角函数与解直角三角形在近年的中考中，难度比以前有所降低，与课改相一致的是提高了应用的要求，强调利用解直角三角形知识解决生活实际中的有关测量、航海、定位等方面的运用。因此，在本专题中，有以下几点应加以注意。
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。
●拓展练习
海南省国兴中学 海师附中 嘉积中学 三亚一中
2009年高三联考地理科试题卷
注意事项：
（1）本试卷分为试题卷和答题卷两部分。答案写在答题卷上，写在试题卷上无效。
（2）本试卷共12页，试题卷8页，答题卷4页。
（3）本试卷满分100分，考试时间90分钟。
第Ⅰ卷
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专题七《圆》
●中考点击
考点分析：
内容
要求
1、圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，点和圆的位置关系以及其有关概念
Ⅰ
2、弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，能根据具体条件确定这四者之间的关系
Ⅱ
3、圆的性质及圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，灵活运用圆周角的知识进行有关的推理论证及计算
Ⅱ
4、垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线
Ⅱ
5、圆与三角形和圆内接四边形的知识及综合运用
Ⅱ
命题预测：本专题主要考查圆的重要性质以及和圆有关的角、线段、环长和面积的计算，另外也会考查圆与勾股定理、相似三角形知识的综合应用．其中，点和圆、直线和圆的位置关系的判断以及和圆有关的简单计算一般以选择填空题形式考查；有关圆与图形的相似、三角函数、函数等知识的综合应用一般是以证明、阅读理解、探索存在等解答题的形式考查．
从2005和2006年各地区中考试题中有关圆的考查内容占分比例分析，课改区一般占到10%左右，而非课改区以往对这一部分较为看重，前几年一般占到20%以上，但近年已降至14%左右，不难看出正逐步向课改区靠拢，而且难度也有所降低．预测2008年中考这部分内容的考查会更加贴近生活，重视实用，同时强调基础，突出能力的考查．
●难题透视
例1如图7-1，在
中，弦
平行于弦
，若
，则
____度．
【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系．
【思路点拔】∵∠B=
∠AOC，
∴∠B=40°
∵AD∥BC
∴∠B =40°
【答案】填：40
【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系．突破方法：抓住题中的所在条件，如本题中的两条弦平行，由此可将∠DAB转化为∠ABC，然后再利用圆周角与圆心的角关系求解．
解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题．
例2如图8-2，AB是的⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（ ）
A．1000 B．
【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识．
【思路点拔】∵AB是的⊙O的直径
∴
度数是1800
∵BC=CD=DA
∴
=
=
∵∠BCD=
=1200
【答案】选填C
【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆中相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦，其所对的圆心角等于180°，以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数．
例3已知：AB和CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为
【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计算问题．
【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧．如图8-3：过O作EF⊥AB，分别交AB、CD于E、F，则AE=4┩，CF=3┩，由勾股定理可求出OE=3┩，OF=4┩．故当AB、CD在圆心异侧时，距离为7┩，在圆心同侧时，距离为1┩．
【答案】填：7┩或1┩
【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视另一情形；二是辅助线的添加．突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图时，应全面考虑各种可能情况．圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连结半径和弦心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算．
例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝
【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力．
【思路点拔】（1）正确作出图形，如图7-6并做答．
（2）过O作OC⊥AB于D ，交弧AB于C，
∵OC⊥AB
， ∴BD＝
AB＝×16＝
由题意可知，CD＝
设半径为x cm，则OD＝（x－4）cm．
在Rt△BOD 中，由勾股定理得：
OD2＋BD2＝OB2， ∴( x－4)2＋82＝x2．
∴x＝10．
【答案】这个圆形截面的半径为
【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者补全之后不知如何进行计算．突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股定理进行计算．
解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形．
例5如图7-7，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
【考点要求】本题考查线段垂直平分线知识，通过对圆中弦的中点的确定，考查学生综合运用知识的能力．
【思路点拔】方法一：画弦的垂直平分线常用的依据是根据垂径定理，如图7-8中，图①，画TH的垂线L交TH于D，则点D就是TH的中点．
方法二：利用全等三角形，如图②，分别过点T、H画HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F画直线L交HT于点D，由画图知，Rt△HOC≌Rt△TOE，易得HF=TF，又OH=OT，所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD了，则点D就是HT的中点．
方法三：如图③，（原理同方法二）
【答案】见图．
【方法点拨】这一道题有一定的开放性，题目中只提供了一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），工具的限至使用学生思维不易完全打开．突破方法： 充分利用三角板直角，可画垂直线段，从而能够根据垂径定理或者构造全等的直角三角形来确定弦的中点．
例6如图7-9，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O与点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系?为什么?
（2）按角的大小分类， 请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．
【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应用．
【思路点拔】（1）（方法1）连接DO ，∵OD是△ABC的中位线，
∴DO∥CA，∵∠ODB＝∠C，∴OD＝BO ，∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC
（方法2）连接AD， ∵AB是⊙O的直径，∴AO⊥BC，
∵BD＝CD，∴AB＝AC
（方法3）连接DO∵OD是△ABC的中位线，∴OD=
AC ，OB=OD=AB，∴AB=AC
（2） 连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∴∠B＜∠ACB＝90°．∠C＜∠ACB＝90°．∴∠B、∠C为锐角
∵AC和⊙O交于点F，连接BF，
∴∠A＜∠BFC＝90°．∴△ABC为锐角三角形
【答案】（1）AB＝AC；（2）△ABC为锐角三角形
【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形．突破方法：判断或证明线段的大小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小分类进行判断，而不是边的大小关系．
解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明．
例7如图7-13，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．
（1）求证：AH ?AB=AC2；
（2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE?AF=AC2；
（3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP?AQ=AC2是否成立(不必证明)．
【考点要求】本题考查与圆有关的三角形相似问题，是一道几何综合证明题．
【思路点拔】（1）连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC ．
∴
， 即AH?AB=AC2
．
（2）连结FB，易证△AHE∽△AFB，
∴ AE?AF=AH?AB，
∴ AE?AF=AC2 ．
(也可连结CF，证△AEC∽△ACF)
（3）结论AP?AQ=AC2成立．
【答案】 （3）结论AP?AQ=AC2成立．
【规律总结】等积式的证明往往要转化为比例式进行，部分学生不知改写为何种比例式比较合适．突破方法：把等积式转化为比例式时，要结合图形书写，如证明AH ?AB=AC2时，可将其先转化为，然后从比例式中对应边的比容易看出证明的目标为△CAH∽△BAC，从而使得解题变得有的放矢．
解题关键：证明圆中的等积式或比例式问题时，往往会利用三角形的相似，因为圆中容易证明角相等．
●难点突破方法总结
在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易．归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：
1.掌握解题的关键点．（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关弦的问题，常需作弦心距．联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径．
2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法．
3.重视数学思想方法的应用．运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计．
●拓展演练
海南省国兴中学、海师附中、农垦中学、三亚一中
2009年高三联考化学科试题卷副卷
注意事项：
1．本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H
第I卷
2009届国兴中学 海师附中 嘉积中学 三亚一中
高三联考语文科试卷B
注意事项：
（1）本试卷分为试题卷和答题卡两部分。试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
（2）本试卷共17 页。其中试题卷10 页，答题卷 7 页。
（3）本试卷满分150分，考试时间为150分钟。
第Ⅰ卷
甲 必考题
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专题五《线段、角与三角形》
●中考点击
考点分析：
内容
要求
1、直线、线段、射线的概念，线段中点的概念及应用
Ⅰ
2、角平分线、线段的垂直平分线、平行线的性质
Ⅱ
3、余角、补角、邻补角的概念，进行角度换算
Ⅰ
4、平行线的概念、性质及判定，两点之间的距离，点到直线的距离
Ⅱ
5、三角形的有关概念，三角形中线的性质及运用
Ⅰ
6、全等三角形的概念、性质及判定
Ⅱ
7、等腰三角形、直角三角形、等边三角形的概念、性质及判定
Ⅱ
8、利用勾股定理及其逆定理解决简问题
Ⅰ
命题预测：从近两年全国课改实验区和非课改实验区的中考试题分析，直线型这部分内容是平面几何的起始内容，概念比较集中，中考对这部分内容的考查以概念为主，主要考查同学们对几何概念的认识和理解程度.这类中考题常以填空题和选择题的形式出现，解题时可采用概念辨析法来提高解题的速度与质量．
三角形的知识历年中考均有涉及，主要考查基本概念及简单应用，题型常以填空题、选择题、解答题等形式出现，分值一般在4％－6％之间．近年来有部分地区又出现了一些探索、开放型题目，意在考查学生的知识运用能力和创新能力，其中值得注意的网格中的三角形问题．
2007年中考，将继续考查线段的中点的概念及应用，对顶角、余角、补角的性质及应用．继续考查垂线、线段的垂直平分线的性质的应用，进一步突出平行线性质与判定方法的综合应用．三角形全等的性质和判定，等腰三角形、直角三角形的性质和判定．
●难点透视
例1下列说法中，正确的是（ ）
A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线
B．
是直线
外一点，
，
，
分别是上的三点，已知
，
，
，则点到的距离一定是1
C．相等的角是对顶角
D．钝角的补角一定是锐角
【考点要求】本题考查对线与角的基本概念的掌握。
【思路点拨】四个选择支分别给出了四个不同说法，需要用角平分线、点到直线的距离、对顶角和钝角、锐角、补角的有关概念做出判断．
一条射线把一个角分成两个角，这两个角不一定相等，A错；
不一定是点到的距离，所以B错；相等的角也不一定是对顶角，故C也错．
【答案】选D．
【方法点拨】部分学生没有充分题解距离的意义，容易错误认地为B是正确答案。突破方法：结合图形进行判断，线段PA虽然是最短的，但不一定与直线垂直，因此不可称作距离。
解题关键：正确理解直线外一点到直线的距离是过这点所作直线的垂线段的长度。
例2如图5-1，AB、CD、EF相交于O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠AOG的度数为（ ）
A．56° B．59° C．60° D．62°
【解析】本题考查通过相交线、垂线、角平分线的组合图形来检查同学们观察、分析图形的能力．
因为∠FOD与∠COE是对顶角，所以∠COE=28°，又AB⊥CD，所以∠COE＋∠EOB=90°，故∠EOB=62°.由＋∠AOE=180°，有∠AOE=118°.因为OG平分∠AOE，所以∠AOG=59°．
【答案】选B。
本题的突破方法：要抓住OG平分∠AOE，所以要求∠AOG的度数，只要能求出∠AOE的度数即可。
例3如图5-2，已知BC=CD=DE=EA,∠A=20°,那么∠B的度数是
度。
【考点要求】本题考查等腰三角形基本性质及等边三角形的判定等知识的运用。
【思路点拨】根据等边对等角及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可依次求得∠EDA=20°，∠DEC=40°，∠DCE=40°，∠BDC=60°，又BC=CD，所以△BCD是等边三角形。
【答案】∠B的度数是60度。
【方法点拨】部分学生在第二次使用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求∠BDC时，容易出现错误求得∠BDC=80度。突破方法：看清每一个外角是哪个三角形的外角。∠BDC是△ACD的外角，所以与其不相邻的两个内角分别等于20度、40度。
例4如图5-3，△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同―直线上，有如下三个关系式：① AD=BC；② DE=CF；③BE∥AF。
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果
、，那么）
（2）选择（1）中你写出的―个命题，说明它正确的理由．
【考点要求】本题考查的是全全等三角形的判定与性质的应用。
【思路点拨】这是一种开放性的问题，不拘于某种固定的答案，其特点是灵活性较强，能较好地考查学生的思维组织及对知识的灵活运用程度。（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①；（2）可根据角角边、角边角进行证明。
【答案】如果①，③，那么②；证明略。
【方法点拨】部分学生对三角形全等的判定方法掌握不够到位，会错写成“如果①，②，那么③”的形式。突破方法：在证明三角形全等问题时，要尽量避开出现“边边角”条件的情况。
例5我们来探究 “雪花曲线”的有关问题：图5-4中的图（1）是边长为1的正三角形，将此正三角形的每条边三等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其两腰代替底边,得到第二个图形如图5-4中的图（2）；再将图5-4中的图（2）的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如图5-4中的图（3）；如此继续下去，得到的第五个图形的周长应等于（ ）
A．3 B．
C．
D．
【考点要求】本题是一道和三角形的周长有关的探索型问题．
【思路点拨】从图形我们可以观察到从第一个图形开始，每进行一次操作，所得到的图形的周长是原来图形周长的
倍，所以第二个图形的周长为
；第三个图形的周长为
；第四个图形的面积为
；第五个图形的面积为
．
【答案】选B．
【方法点拨】部分学生无法找出其中的变化规律，想通过逐个计算的方法求解，此方法较为繁杂从而导致计算错误。突破方法：从前一个三角形到后一个三角的每边长发生的变化进行分析，找出变化规律，而整个周长的变化也具有相同规律。
解题关键：本题作为规律探索题，可用公式表示结果，如第n个图形的周长应等于
。
例6已知：如图5-6，圆O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E、F分别是边AC和BC的中点，求证：四边形CEDF是菱形.
【考点要求】本题综合考查了三角形、四边形及圆的有关知识。
，
，
，
，
，
，
，
。
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】部分学生容易根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明CE=DE，CF=BF，但却不知怎么证明这四条边相等。突破方法：先要设法证明△ABC是等腰三角形。
解题关键：本题在等AC=BC时，除了用全等，也可根据圆中的垂径定理进行证明。
例7一架长
，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底
【考点要求】本题考查勾股定理的应用．
【思路点拨】是的．
证明1：
在
中，
米．
米．
在
中，
米．
．即梯子底端也滑动了
证明2：
在中，米．
米．
可证
．
所以
米．
．即梯子底端也滑动了
梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】本题突破方法主要就是利用勾股定理进行证明，但要注意的是这一结论并不是对所有情形都成立，多数情况下梯子在竖直和水平方向上的滑动距离并不相等，关键要看相关的数据。
例8如图5-7，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证：BF=2CF．
【考点要求】本题考查线段的垂直平分线的有关知识。
【思路点拨】本题解题关键是辅助线的添加，连结EF可求解．
因为EF是AC的垂直平分线，所以AF=FC。
因为AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，所以∠BAF=90°，所以AF=
BF，即BF=2AF．
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】部分学生没有添加辅助线，因而无法将CF进行转化，证明不到BF与CF的关系。突破方法：在同一直线上的的线段倍数关系证明，应设法转化到同一个三角形中，根据特殊角的相关性质加以证明。
解题关键：利用垂直平分线的性质，作出辅助线AF，将CF转化为AF，再进行证明。
例9一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如5-8，火柴盒的一个侧面
倒下到
的位置，连结
，设
，请利用四边形
的面积证明勾股定理：
．
【考点要求】本题考查勾股定理的证明，试题贴近生活，设计新颖，操作简单，有利于培养学生的动手能力．
【思路点拨】因为四边形为直角梯形，
所以
而Rt
Rt
，所以
所以
所以
，所以
即．
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】部分学生因未能将四边形的面积分割成恰当的图形，从而无从证明。突破方法：可将四边形分为三个三角形，分别计算面积，而四边形本身又是一个直角梯形，也可整体求出其面积，从而建立相等关系。
● 难点突破方法总结
在本部分试题中，出现较多容易混淆的概念和性质，如直线、射线、线段；对顶角、邻补角；平角与直线；平行线折判定与性质；垂线与垂线段的作图等。在应考时可利用“比较 ”的思想方法，弄清它们的联系与区别，以防作出错误推断。此外，还有以下几点需要注意。
1.掌握角平分线的性质和垂直平分线性质，能灵活运用它们解决实际问题。
2.掌握三角形有关的性质、判定与解题方法，如倍长中线法、构造全等三角形法，截长补短法等是应考的前提。
3.加强对探索题、动点问题、创新题的训练与研究，并不断归纳总结方法，逐步形成数学能力。
3.掌握三角形证明题的解题思路和方法，如分解图形法，构造图形法，分析法，综合法，以及数形结合法等。
4.注重知识的归纳总结，并逐步形成一个相对完整的体系，以便于求解综合题、创新题和开放题。
●拓展演练
海南省国兴中学 海师附中 嘉积中学 三亚一中2009年高三联考数学（文科）试卷(备用)
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
（1）本试卷分为试题卷和答题卷两部分。请将答案写在答题卷上，写在试题卷上无效。
（2）本试卷共11页，试题卷6页，答题卷5 页。
（3）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
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专题四《统计与概率》
●中考点击
考点分析：
内容
要求
1、数据的收集、整理、描述与分析等统计的意义
Ⅰ
2、总体、个体、样本，全面调查及抽样抽查，频数、频率等概念
Ⅰ
3、利用扇形图、条形图、直方图及折线图进行数据整理
Ⅱ
4、理解概率的意义，会用列举法及频率求概率
Ⅱ
5、能利用统计与概率知识解决实际生活中的有关问题
Ⅱ
命题预测：概率是新课程标准下新增的一部分内容，从2004、2005以及2006年课改实验区的中考试题来看，概率在试题中占有一定的比例，一般在10分左右，因此概率已成为近两年及今后中考命题的亮点和热点．
在中考命题时，关于概率的考题，多设置为现实生活中的情境问题，要求学生能分清现实生活中的随机事件，并能利用画树状图及列表的方法计算一些简单事件发生的概率．因此学生在复习时要多接触现实生活，多作实验，留心身边的每一件事，把实际问题与理论知识结合到一块来考虑问题．预测2007年将进一步考查在具体情况中求简单事件发生的概率以及运用概率的知识对一些现象作出合理的解释．
●难点透视
例1六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为2、3、5、13、3、10，这六个数的中位数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点要求】本题考查统计的基本概念中位数的意义．
【思路点拔】中位数是把数据按一定顺序排列后位于中间位置的一个数或两个数的平均数，本题共6个数据，按从小到大顺序排列后，中间位置的两个数是第3、4个，分别是3和5，它们的平均数为4，所以中位数是4．
【答案】选B．
【错解剖析】不能正确理解中位数的意义，简单的理解成中间位置上的一个数或两个数的平均数．突破方法：判断中位数时，必须先按一定顺序排列．
解题关键：要看清一组数据是否按一定顺序排列．
例2如图4-1是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图．根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ）
A．甲户比乙户多 B．乙户比甲户多
C．甲、乙两户一样多 D．无法确定哪一户多
【考点要求】本题考查扇形统计图的意义．
【思路点拔】因为扇形统计图中的数据只能反映各组数据所占的百分比的大小，题目中并没有提供支出的总费用，所以不能确定全年食品支出的具体大小．
【答案】选D．
【错解分析】部分学生简单地从所占百分比进行比较判断．突破方法：具体费用的多少，必须用总费用乘各项支出的百分比．
解题关键：扇形图中各项的百分比表示各组数据所占的比例大小，但不能表示具体的数值．
例3 “长三角”16个城市中浙江省有7个城市．图4-2中，图1、图2分别表示2004年这7个城市GDP（国民生产总值）的总量和增长速度．则下列对嘉兴经济的评价，错误的是
A．GDP总量列第五位 B．GDP总量超过平均值
C．经济增长速度列第二位 D．经济增长速度超过平均值
【考点要求】本题考查条形统计知识，要求能根据统计分析相关数据，得出信息．
【思路点拔】由条形图1可知，嘉兴GDP总量在杭州、宁波、绍兴、台州之后，位列第5，而由条形图2可知GDP增长速度位于舟山之后，列第2；由图1，可算得GDP总量平均值为1301.6亿元，由条形图2可算得增长速度平均值为15.5%．
【答案】选B．
【方法点拨】本题以计算为主．突破方法：要做出正确选择，必须求出两个条形图中提供信息的平均值．
例4一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对9位学生的鞋号进行了抽样调查. 其号码为：24、22、21、24、23、20、24、23、24. 经销商最感兴趣的是这组数据中的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【考点要求】本题考查统计知识在生活中的应用．
【思路点拔】因为经销商所关心的是哪种号码的鞋最好销售，也就是各种号码中卖出最多的．
【答案】选B．
【规律总结】本题是一道联系生活实际的问题．突破方法：销售商最想知道的是哪种号码的鞋最好卖，能反应出这一点的是众数．
例5甲、乙、丙三台机床生产直径为
【考点要求】本题考查方差的有关知识，方差越小，说明数据波动越小，比较稳定．
【思路点拔】因为S2乙＜S2丙＜S2甲，所以乙机床生产的螺丝质量比较稳定．
【答案】填乙．
【错解剖析】不能正确理解方差与波动之间的关系．突破方法：正确理解方差越大，波动越大，说明数据越不稳定．
例6以下说法合理的是（ ）
A、小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%
B、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6
C、某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖．
D、在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51．
【考点要求】本题考查对概率意义的理解．
【思路点拔】A项中实验次太少；B项应该是经过大量实验平均每6次有一次掷得6；C不一定，彩票数量很大，这100张中可能一张也不会中奖，也可能不止一张中奖；D项两组概率接近0.5，所以正确．
【答案】选D．
【错解剖析】容易错选B，主要是由于未能正确理解概率的意义，必须是在大量试验的前提下，平均每6次就有1次．
例7如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分. 谁先累积到10分，谁就获胜.你认为 （填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大.
【考点要求】本题考查利用概率判断规则的公平性．
【思路点拔】两枚硬币抛掷的所有可能结果是：正正、正反、反正、反反，其中两个正面的概率是P（两个正面）=
，所以甲的积分为：
×1=，乙的积分为：×1=.因此甲获胜可能性更大．
【答案】填甲．
【错解剖析】部分学生易错误的认为其它他结果为一正一反即正反与反正，从而把甲得分概率错求为
．突破方法：两个正面之外的其他结果包括一正一反、反反．
解题关键：用列举法把各种结果全部表示出来．
例8用6个球（除颜色外没有区别）设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为，摸到红球的概率为
，摸到黄球的概率为
，则应设
个白球， 个红球， 个黄球．
【考点要求】本题考查概率实验中小球数目的确定．
【思路点拔】因为一共有6个球，需满足条件：摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，则白球有6×=3个，红球有6×=2个，黄球有6×=1个．
【答案】填3，2，1．
【错解剖析】部分学生容易忽视总共是6个球，而只考虑三种颜色球之比为3：2：1.
例9在中考体育达标跳绳项目测试中，1分钟跳160次为达标，小华记录了她预测时1分钟跳的次数分别为145，156，143，163，166，则他在该次预测中达标的概率是
【考点要求】本题主要考查计算简单事件发生的概率．
【思路点拔】这个事件的所有可能出现的结果有5种，其中达标的结果有2种，所以他达标的概率是
.
【答案】
【方法点拔】由预测的达标概率来估计中考达标原概率．
例10我市部分学生参加了2005年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩. 已知竞赛成绩分数都是整数，试题满分为140分，参赛学生的成绩分数分布情况如下：
分数段
0－19
20－39
40－59
60－79
80－99
100－119
120－140
人 数
0
37
68
95
56
32
12
请根据以上信息解答下列问题：
（1） 全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？
（2） 经竞赛组委会评定，竞赛成绩在60分以上 (含60分)的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例；
（3） 决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？
（4） 上表还提供了其他信息，例如：“没获奖的人数为105人”等等. 请你再写出两条此表提供的信息.
【考点要求】本题考查利用统计知识对所给数据进行分析，并解决相关问题．
【思路点拔】（1）全市共有300名学生参加本次竞赛决赛，最低分在20－39之间，最高分在120－140之间
（2） 本次决赛共有195人获奖，获奖率为65％ .
（3） 决赛成绩的中位数落在60―79分数段内.
（4） 如“120分以上有12人；60至79分数段的人数最多；……”等.
【答案】（1）最低分在20－39之间，最高分在120－140之间；
（2）获奖率为65％；
（3）60至79分；
（4）120分以上有12人；60至79分数段的人数最多．
【方法点拔】从问题出发，对表格中的数据进行分析，找出对解题有用的信息．
例11市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67
乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75
(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？
(2)哪位运动员的成绩更为稳定？
(3)若预测，跳过
【考点要求】本题考查平均数、方差等知识，并能利用方差判断成绩的稳定性，从而帮助作出决策的实际应用问题．
【思路点拔】（1）
（2）
故甲稳定
（3）可能选甲参加，因为甲8次成绩都跳过
也可能选乙参加，因为甲仅3次超过1.70m．（答案不唯一，言之有据即可）
【答案】（1）；
（2）甲稳定；
（3）答案不唯一，言之有据即可
【方法点拔】回答第（3）问时，并无固定答案，从不同角度可做出不同回答．
例12如图所示，A、B两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：
（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）求A、B两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；
（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人，为控制游客数量，A旅游点决定提高门票价格．已知门票价格x（元）与游客人数y（万人）满足函数关系
．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少？
【考点要求】本题考查从折线图中获取信息，并结合信息加以评价，解决相关问题．
(1)B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年．
(2)
＝
＝3（万元），
＝
＝3（万元）
＝
[(-2)
＋(-1)＋0＋1＋2]＝2，
＝[0＋0＋(-1)＋1＋0]＝
从2002至2006年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大．
(3)由题意，得 ５－
≤４ 解得x≥100 100-80＝20
【答案】（1）2005年；
（2）从2002至2006年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大；
（3）至少要提高20元．
【方法点拔】完成第（3）问时要先确定票价与游客人数的函数关系，然后根据题目要求列出不等式，求出相应的票价，再计算出票价提高多少．
例13小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2ｍ和3ｍ的同心圆（如图4-5），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判．
（1）你认为游戏公平吗？为什么？
（2）游戏结束后，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”．请你设计方案，解决这一问题．（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）
【考点要求】本题考查设计用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积的方案，即用概率知识进行方案设计．
【思路点拔】（1）不公平
∵P(阴)=
，即小红胜率为
，小明胜率为
∴游戏对双方不公平
（2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积．
设计方案：① 设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来（如正方形，其面积为S）．如图4-6所示；
② 往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子，掷在图外不作记录)．
③ 当掷点数充分大（如1万次），记录并统计结果，设掷入正方形内m次，其中n次掷图形内．
④
设非规则图形的面积为S＇，用频率估计概率，即频率P＇（掷入非规则图形内）=
概率P(掷入非规则图形内)=
，
故
【答案】（1）不公平；
（2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积．
【方法点拔】本题第（2）问的解决是在第（1）问的逆向思维基础上进行，只有正确解决了第（1）问并能正逆理解才能有第（2）问的方案设计思路．
● 难点突破方法总结
统计与概率问题中，中考考查以基础题主为，难题一般为实际运用，解题时应注意以下几点．
1．提高运算技能，平均数、中位数、极差、方差、频率等数值都要定的数学运算得到，而运算的结果将会影响到统计的预测．
2．提高阅读理解和识别图表的能力，统计问题的试题中，许多问题都是以社会热点为背景，形式灵活多样，综合性较强，强调课内知识和课外活动相结合，调查分析和收集整理相结合；
3．注重在具体情境中体会概率的意义，理解概率对生活指导的现实作用；
4．加强统计与概率之间的关系，同时要避免将概率内容的学习变成数字运算的练习；
5．加强训练，能用规范的语言表述自己的观点．
●拓展演练
海南省国兴中学 海师附中 嘉积中学 三亚一中
2009年高三联考物理科试卷
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，用再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共34分）
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专题三《函数》
●中考点击
考点分析：
内容
要求
1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点
Ⅰ
2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系
Ⅰ
3、一次函数的概念和图像
Ⅰ
4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图
Ⅱ
5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用
Ⅱ
6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题
Ⅱ
命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3―6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题．会求一元二次方程的近似值．
分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计2007年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解．同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用．
●难点透视
例1反比例函数
的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数的图象上，则n的值是
．
【考点要求】本题考查用反比例函数图象上的点确定其解析式，并会用解析式确定点的坐标．
【思路点拨】因为反比例函数的图象经过点（2，5），所以可将点（2，5）的坐标代入
，求k就可确定解析式，再将点（1，n）代入解析式中求n的值．或直接根据反比例函数性质即图象上点的横、纵坐标之积为常数k来求n，由题意得2×5=1×n，所以n=10．
【答案】填10.
【方法点拨】由反比例函数解析式经过变形，可以得到
，因为k是一个常数，所以在反比例函数图象上的所在的点的横、纵坐标的乘积是一个定值，根据这个结论，很容易求出这类问题的结果．
例2如图3-1，已知点A的坐标为（1，0），点B在直线
上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为
A. (0，0) B. 
C. 
D. 
【考点要求】本题考查一次函数、线段、直角三角形等知识，数形结合是重要的数学方法之一．
当线段AB最短时AB⊥BO，又由点B在直线上可知∠AOB=45°，且OA=1，过点B作x轴的垂线，根据等腰“三线合一”及直角三角形“斜边的中线等于斜边的一半”容易求得点B坐标为，
【答案】选B．
【误区警示】部分学生能找出B点运动到何处线段AB最短，但却无法求出具体坐标。突破方法：已知直线BO解析式，求点的坐标是根据两直线相交，再求出AB直线的解析式，利用方程组求出交点坐标。
解题关键：互相垂直的两直线解析式中，一次项系数互为倒数，据此再结合点A的坐标可求出直线AB的解析式。
例3某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
印数x（册）
5000
8000
10000
15000
…
成绩y（元）
28500
36000
41000
53500
…
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数．求这个一次函数的解析式（不要求写出x的以值范围）；
（2）如果出版社投入成绩48000元，那么能印读物多少册？
【考点要求】本题考查一次函数解析式的确定及其应用．
【思路点拨】（1）设所求一次函数解析式为
，则
，解得
,所以所求函数的关系式为
.
（2）因为
，所以x=12800
【答案】能印该读物12800册．
【方法点拨】关键要从题目所给表格中的数据选择合适的一对值代入所设解析式，求出解析式。
例4若M
、N
、P
三点都在函数
（ｋ＜0）的图象上，则
的大小关系为（ ）
A、
＞
＞
B、＞＞ C、＞＞ D、＞＞
【考点要求】本题考查反比例函数的性质及用函数图象比较函数值大小．